角动量图

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:12:32 #角动量

出现在量子力学以及其应用如多体问题、量子化学等领域中,角动量图是一种图形表示法,用以代表一量子系统的角动量量子态,使得相关计算能以符号形式推演。此方法的箭号将角动量态与狄拉克符号连结。

此方法是由立陶宛物理学家阿朵发斯‧朱西斯(英语:Adolfas Jucys)于20世纪发明。在量子力学以及量子场论领域中,形似的符号表示法尚有费曼图与彭罗斯图形符号。这些图样包含有箭头与顶点,有些还有量子数的标记。

单一粒子带有总角动量量子数与总磁量子数 = , − 1, ..., − + 1, −,其量子态矢量以狄拉克符号的右矢(Ket)标记为|, ⟩,其图形则为单箭头的箭号。有一相对应的左矢(Bra)为⟨, |,其图形为双箭头的箭号,指向与右矢相反。

例子中

最基本的左矢与右矢图形符号为:

箭号指向顶点或从顶点指出,分别为

箭号一个一个相接续。在反标准表象中,采用时间反转算符。算符是幺正的,也就是其厄米伴算符†等于其反算符−1,即† = −1。其作用在位置算符时,结果保持不变:

线动量算符则变为负值:

自旋算符也变为负值:

既然轨域角动量算符L = x × p,在算符作用后也会变为负值:

也因此总角动量算符J = L + S也变为负值:

作用在角动量算符本征态|, ⟩,可得:(见注释)

时间反转的图形符号为:

将顶点标记在正确位置相当重要,否则正向时间与反向时间的算符会相互混淆。

状态|1, 1⟩与状态|2, 2⟩的内积:

相应的图形符号为:

将内积加总,也就是缩并的计算:

习惯上会以一封闭圆来表示,并且标上:

状态|1, 1⟩与状态|2, 2⟩的外积是一算符:

相对应的图形符号为:

将外积加总,也就是缩并的计算:

时间反转算符的结果可见于上式|, ⟩。对外积缩并计算来缩,正向时间与反向时间没有差别,因此图形符号表示是相同的,皆为一无指向的线段,其上仅标示:

状态|1, 1⟩, |2, 2⟩, ... |, ⟩的张量积⊗可写为:

图形符号则呈扇形——项个别态的线段汇聚于一共同顶点。

顶点附近标有一正负号,以表示张量积的顺序:

有时候会在正负号之外,加上弯箭头来表示上述的走向。

两张量积态的内积:

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