厄米算符

在数学里，作用于一个有限维的酉空間，一个自伴算子（self-adjoint operator）等于自己的伴随算子；等价地说，在一组单位酉正交基下，表达自伴算子的矩阵是埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴算子为一个实值的对角矩阵。在量子力学里，自伴算子，又称为自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一种等于自己的厄米共轭的算符。给予算符 O ^ {displaystyle {hat {O}},!} 和其伴随算符 O ^ † {displaystyle {hat {O}}^{dagger },!} ，假设 O ^ = O ^ † {displaystyle {hat {O}}={hat {O}}^{dagger },!} ，则称 O ^ {displaystyle {hat {O}},!} 为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O {displaystyle O,!} 的期望值是实值的：对于任意量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle ,!} ，这关系都成立；根据伴随算符的定义，假设 O ^ † {displaystyle {hat {O}}^{dagger },!} 是 O ^ {displaystyle {hat {O}},!} 的伴随算符，则 ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | O ^ † | ψ ⟩ {displaystyle langle psi |{hat {O}}|psi rangle ^{*}=langle psi |{hat {O}}^{dagger }|psi rangle ,!} 。因此，这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 O ^ {displaystyle {hat {O}},!} ，都是厄米算符。可观察量，像位置，动量，角动量，和自旋，都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符 H ^ {displaystyle {hat {H}},!} 是一个很重要的自伴算符，表达为其中， ψ {displaystyle psi ,!} 是粒子的波函数， ℏ {displaystyle hbar ,!} 是约化普朗克常数， m {displaystyle m,!} 是质量， V {displaystyle V,!} 是位势。哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量，一个可观察量。动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle ,!} 的波函数为 ψ ( x ) {displaystyle psi (x),!} ，对于任意量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle ,!} ， p ^ = p ^ † {displaystyle {hat {p}}={hat {p}}^{dagger },!} 。所以，动量算符确实是一个厄米算符。Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)