可均群

可均群是数学上一个特别的局部紧拓扑群，具备了一种为在上的有界函数取平均的操作，而且在函数上的群作用，不会改变所取得的平均。

在${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$上，是否存在有限可加的概率测度${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$-不变的，即是在对其中的子集的群作用下不变：对任何${\displaystyle E\subset <!--\; \subset \; -->G}$为局部紧群。上存在左哈尔测度${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$的特征函数。而且对任何实值函数${\displaystyle f\in <!--\; \in \; -->L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(G)}$如果有一个左不变平均，就称为可均群。

可均群有很多等价定义。其中一个是Følner条件：

对任何${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}>0}$是可数无限的离散群，Følner条件等价于：中存在有限子集${\displaystyle S_n}$是可均群的闭正规子群，那么${\displaystyle G/H}$是局部紧群的闭正规子群，而且和${\displaystyle G/H}$也是可均群。

设是局部紧群，是有向集合，${\displaystyle (H_i{)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}}$的闭可均子群组成的网，对任何${\displaystyle i\le <!--\; \le \; -->j}$的可均子群。

有限群是可均群。更一般地，紧群是可均群，其哈尔测度是一个不变平均。

整数群${\displaystyle (\mathbb{Z},+)}$是局部紧的可解群，则有导出列

其中${\displaystyle G^{(i+1)}=}$是可均群。

一个有限生成群是次指数增长的，如果中存在一个有限生成集合，有对称性${\displaystyle S=S^{-<!--\; -\; -->1}}$是可均群。

设${\displaystyle G_1}$,是${\displaystyle F_2}$,写成字。假设${\displaystyle F_2}$。考虑${\displaystyle F_2}$，包含所有简约字以${\displaystyle a^n}$是某个不等于0的整数。）那么, , ${\displaystyle b^{2}A}$维空间${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$)看成离散群，则不小于3时SO()包含${\displaystyle F_2}$不小于3时可行，在等于2时不可行的原因。不过若用SO()原来的拓扑，则对所有，SO()都是紧群，所以都是可均群。

一个殆连通的局部紧群是可均群，当且仅当不包含${\displaystyle F_2}$的单位连通区。若${\displaystyle G/G_e}$称为殆连通群。）

冯纽曼猜想推测非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他证明了塔斯基魔群是非可均的。是一个塔斯基魔群，如果有一个固定的素数，中所有真子群除了平凡子群外，都是阶循环群。所以塔斯基魔群没有子群是秩2的自由群。