克鲁斯卡尔坐标系

克鲁斯卡尔坐标系（或称作克鲁斯卡尔-塞凯赖什坐标系，英文Kruskal coordinates或Kruskal-Szekeres coordinates）是在史瓦西度规下建立的一种坐标系，名称来自于美国数学物理学家马丁·克鲁斯卡尔（Martin Kruskal）和匈牙利-澳大利亚数学家乔治·塞凯赖什。这种坐标系的优点在于它能够涵盖整个时空流形，使得奇点之外的所有点在坐标系中都存在定义，也就是说它能够将原有的在球坐标系下的史瓦西度规最大限度地推广到整个时空中。

考虑在球坐标系下的史瓦西度规

其中

是二维球面${\displaystyle S^2}$的线元。

将时间坐标${\displaystyle t}$和径向坐标${\displaystyle r}$做如下代换：

在这些坐标下，史瓦西度规由下式给出：

其中${\displaystyle r}$的定义被隐含在

或等价于

其中${\displaystyle W}$是朗伯W函数。

这组由${\displaystyle \left(T,R,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\right)}$构成的坐标系称作Kruskal坐标系，有时也称作Kruskal-Szekeres坐标系。

史瓦西黑洞的视界位于${\displaystyle r=2GM}$，此时

的右面为零，从而有

即史瓦西黑洞的视界在T-R平面上是两条45°的对角线。

对于一般的常数${\displaystyle r}$，可以得到

即它们是T-R平面上的一组双曲线。

对于一般的常数${\displaystyle t}$，

它们是通过原点的斜率为${\displaystyle \tanh <!--\; \; -->(t/4GM)}$的直线。注意到当${\displaystyle t\to <!--\; \to \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$时${\displaystyle \tanh <!--\; \; -->(t/4GM)=\pm <!--\; \pm \; -->1}$，从而等价于${\displaystyle T^2-<!--\; -\; -->R^2=\text{constant}}$的情形。这表明${\displaystyle t=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$和${\displaystyle r=2GM}$描述的是同一个面。

如果像上节所述那样将时空图画到T-R平面上就得到了像右面图1所示的Kruskal图。Kruskal图上的每一点都代表了一个二维球面。从图中可以看到：

对于球坐标系下的史瓦西解而言，存在物理意义的径向坐标的范围是，且${\displaystyle r\ne <!--\; \ne \; -->2GM}$；但从上节我们已经看到在Kruskal坐标系中，在避免撞上奇点${\displaystyle r=0}$的前提下所允许的R的范围是从负无穷大到正无穷大，并且。在Kruskal图中所描述的史瓦西解被称作最大延伸的史瓦西解（Maximally Extended Schwarzchild Solution），从图3中可以看到它包含有通过视界${\displaystyle r=2GM}$分割的四个不同的时空：