数学模型

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:49:52 #数学模型

数学模型是使用数学概念和语言来对一个系统的描述。创建数学模型的过程叫做数学建模。数学模型不只用在自然科学（如物理学、化学、生物学、宇宙学）和工程学科（如计算机科学，人工智能）上，也用在社会科学（如经济学、心理学、社会学和政治科学）上；其中，物理学家、工程师、统计学家、运筹学分析家和经济学家们最常使用数学模型。模型会帮助解释一个系统，研究不同组成部分的影响，以及对行为做出预测。Eykhoff定义“数学模型”为“对一个现存（或被建构的）系统本质的表述，以能以有用的形式表示出此系统的知识来。”数学模型可以有许多种的形式，不只限定在动力系统、概率模型、微分方程或赛局模型而已。不同的模型可能有相同的形式，同一个模型也可能包含了不同的抽象结构。数学模型通常由关系与变量组成。关系可用算符描述，例如代数算符、函数、微分算符等。变量是关注的可量化的系统参数的抽象形式。算符可以与变量相结合发挥作用，也不可以不与变量结合。通常情况下，数学模型可被分为以下几类：数学模型在自然科学中非常重要的，特别是在物理学中。物理理论几乎无一例外是利用数学模型表示的。纵观历史，许多越来越准确的数学模型得到发展。牛顿运动定律准确地描述了许多日常现象，但在必须使用相对论和量子力学的某些限制下，这些定律甚至对所有情况都不能适用，而需要进一步细化。可以在适当限制下得到较不准确的模型，例如在速度远小于光速时相对论力学就会成为牛顿力学。在量子数较高的时候，量子力学就会成为经典物理。比如网球的德布罗意波长非常小，所以在这种情况下使用经典物理学是一个很好的近似。在物理学中，使用理想化模型来简化事物是很常见的。物理中用到的若干简化模型就包括无质量的绳子、点粒子、理想气体以及无限深方形阱。用简单方程表示的物理定律有牛顿定律、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。这些定律都是创建在实际情况的数学模型基础上的。许多实际情况是非常复杂的，因此要用电脑进行模拟，计算可行的模型是创建在基本定律或基本定律吧的近似模型上的。例如，分子可以用薛定谔方程的近似解分子轨道模型进行模拟。在工程中，物理模型通常运用的数学方法如有限元分析。不同数学模型使用不同的几何学，但所使用的不一定是描述宇宙最准确的几何学。欧几里得几何多用在经典物理学中，而狭义相对论和广义相对论都是不使用欧几里得几何的理论。建模需要在现实世界中情况的相关方面选择和鉴别。

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