稳定婚姻问题

✍ dations ◷ 2025-06-29 00:00:52 #组合数学,数学问题

在组合数学、经济学、计算机科学中，稳定婚姻问题（英语：stable marriage problem，简称SMP）又称为稳定配对问题（stable matching problem），是指在两组同样大小的元素集合中（例如集合1是男子组、集合2是女子组，而他们各有偏好），寻求一个稳定配对组合所遇到的问题。一个组合在以下情况下并不稳定：

在集合1中有一个元素A更偏好于集合2的一些元素B，但元素A已被配对；而元素B亦更偏好于元素A多于配对给他的元素。在男女婚姻的角度来说，可以写成一名男子A获安排与女子D结婚，但A实际上是更喜欢女子B的。反之，女子B亦被安排与男子C结婚，但B实际上也是更喜欢A的。

简单来说，一个稳定的组合是指在任何一个组合中（含A及B），每一个元素都是最偏好目前的组合多于任何其他的元素。亦即是说，稳定婚姻配对是指在同等数量男女当中，每一名男子皆能与自己最喜欢的女子结婚，反之亦然。然而，这个配对方式却引来不少难题。

1962年David Gale和Lloyd Shapley提出了Gale–Shapley算法，这个系统可以确保如果男子组跟女子组的成员数皆相同（即N男N女）中，每一名男子和女子都能找到一名伴侣，以及每个婚姻都是稳定的。

假设在n男n女中的存在两对夫妇(M, W)和(m, w)，M男对w女喜好度大于现任妻子W女，并且w女对M男喜好度也大于现任丈夫m男：

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