卷积

在泛函分析中，卷积（又称叠积（convolution）、褶积或旋积），是透过两个函数 和 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 与经过翻转和平移的 的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“移动平均”的推广。

卷积是数学分析中一种重要的运算。设：${\displaystyle f(x)}$表示的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

其中${\displaystyle \mathcal{F}(f)}$的傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem（英语：Mellin inversion theorem））等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为${\displaystyle n}$是有某 测度的群（例如豪斯多夫空间上哈尔测度下局部紧致的拓扑群），对于上-勒贝格可积的实数或复数函数和，可定义它们的卷积：

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的彼得-外尔定理。

卷积在科学、工程和数学上都有很多应用：