德摩根定律

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:16:00 #布尔代数,逻辑,对偶理论

在命题逻辑和逻辑代数中,德摩根定律(英语:De Morgan's laws,或称笛摩根定理、对偶律)是关于命题逻辑规律的一对法则。

19世纪英国数学家奥古斯塔斯·德摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系:

即:

德摩根定律在数理逻辑的定理推演中,在计算机的逻辑设计中以及数学的集合运算中都起着重要的作用。他的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究,这巩固了德摩根作为该规律的发现者的地位,亚里士多德亦曾注意到类似的现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知(引自Bocheński《形式逻辑历史》)。

形式逻辑中此定律表达形式已在上文提及。

在集合论中:

在经典命题逻辑的外延中,此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符,我们都能找他它的对偶),由于存在于调节否定关系的恒等式中,人们总会引入作为一个算符的德摩根对偶的另一个算符。这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质,即否定范式的存在性:任何公式等价于另外一个公式,其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时。否定常型的存在推进了许多应用,例如在数位电路设计中该性质用于操纵逻辑闸,以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件;电脑程序员们则用它们将一个类似于""这样的复杂语句转变为其对等形式(例如:if(...){...} else{...});它们也同样经常用于初等概率论中的计算。

我们将基于基本命题 p {\displaystyle p} 的任意命题算符 P ( p , q , ) {\displaystyle P(p,q,\ldots )} 的对偶定义为:

该概念可以推广到逻辑量词上,例如全称量词和存在量词互为对偶:

为对德摩根定律叙述这些量词的二元性,设置一个在其域 D {\displaystyle D} 中具有少量元素的模型,例如

以及

但,应用德摩根定律,

以及

检验模型中量词的二元性。

从而,量词的二元性可进一步延伸到模态逻辑中的方块和菱形算符:

在其用于可能性和必然性的真势模态的应用中,亚里士多德注意到该情况,以及在正规模态逻辑的情况中,这些模态算符对量化的关系可借助按关系语义设置模型来理解。

相关

  • 血凝素血球凝集素(hemagglutinin)(C53H67N9O17) (TYR-PRO-TYR-ASP-VAL-PRO-ASP-TYR-ALA),是指可使红血球凝集的抗体或其他物质。在流感病毒、痳疹病毒(以及许多其他细菌和病毒)表面等均
  • 劓刑劓是中国古代的一种刑罚,属五刑内肉刑的一种,被处劓刑的受刑人被割去鼻子。汉文帝时,将应受劓刑的罪改为笞刑,在隋以后,刑典中即不再有劓这种刑罚。
  • 士人文人是儒家思想的类群概念,是指儒家文化圈传统的知识分子,是具备一定文学修养的作家、诗人,又称为墨客、读书人、书生、雅士等,当中“文人墨客”两个称谓常合并在一起。除了知识
  • 谷氨酸脱羧酶谷氨酸脱羧酶(英语:Glutamate decarboxylase;GAD)是一个催化谷氨酸脱羧为γ-氨基丁酸并释放CO2的酶。此酶使用磷酸吡哆醛作为一个辅因子。此反应以如下方式进行:此酶在哺乳动物中
  • 勒内·科蒂勒内·朱尔·古斯塔夫·科蒂(René Jules Gustave Coty) (法语发音:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sa
  • 猎鹰九号和猎鹰重型系列运载火箭发射列表猎鹰9号FT Block 5(英语:Falcon 9 Full Thrust Block 5)是猎鹰9号的最新版本,火箭在Block 3 和 Block 5中的最大变化是所有发动机上的更高推力和着陆腿的改进。此外,许多小的变化
  • 第四航空队第四航空队(英语:Fourth Air Force)是美国空军预备役司令部下属的一个编号航空队,指挥部位于加利福尼亚州的March空军基地。
  • 木芙蓉木芙蓉(学名:Hibiscus mutabilis),通常被称作芙蓉,是一种原产于中国的植物。木芙蓉为落叶灌木或小乔木,高1~3m。枝条较密并生有星状毛。叶为互生,呈阔卵圆形或圆卵形,掌状3~5浅裂,先
  • 森林生态学森林生态学(英语:Forest ecology)是指以森林生态系为研究对象的一门学科,研究者将森林视为一个生物群落,其中包含天然林地内的所有生物(英语:Biotic component)(如植物、动物、微生物
  • 1941年9月21日日食1941年9月21日日食是一次日全食,发生于1941年9月21日(西半球的部分日偏食区域为9月20日)。新月当天(即朔日),地球上观测到月球和太阳的角距离极小,此时月球如果恰好在月球交点附近,