德摩根定律

✍ dations ◷ 2025-10-22 03:14:51 #布尔代数,逻辑,对偶理论

在命题逻辑和逻辑代数中,德摩根定律(英语:De Morgan's laws,或称笛摩根定理、对偶律)是关于命题逻辑规律的一对法则。

19世纪英国数学家奥古斯塔斯·德摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系:

即:

德摩根定律在数理逻辑的定理推演中,在计算机的逻辑设计中以及数学的集合运算中都起着重要的作用。他的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究,这巩固了德摩根作为该规律的发现者的地位,亚里士多德亦曾注意到类似的现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知(引自Bocheński《形式逻辑历史》)。

形式逻辑中此定律表达形式已在上文提及。

在集合论中:

在经典命题逻辑的外延中,此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符,我们都能找他它的对偶),由于存在于调节否定关系的恒等式中,人们总会引入作为一个算符的德摩根对偶的另一个算符。这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质,即否定范式的存在性:任何公式等价于另外一个公式,其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时。否定常型的存在推进了许多应用,例如在数位电路设计中该性质用于操纵逻辑闸,以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件;电脑程序员们则用它们将一个类似于""这样的复杂语句转变为其对等形式(例如:if(...){...} else{...});它们也同样经常用于初等概率论中的计算。

我们将基于基本命题 p {\displaystyle p} 的任意命题算符 P ( p , q , ) {\displaystyle P(p,q,\ldots )} 的对偶定义为:

该概念可以推广到逻辑量词上,例如全称量词和存在量词互为对偶:

为对德摩根定律叙述这些量词的二元性,设置一个在其域 D {\displaystyle D} 中具有少量元素的模型,例如

以及

但,应用德摩根定律,

以及

检验模型中量词的二元性。

从而,量词的二元性可进一步延伸到模态逻辑中的方块和菱形算符:

在其用于可能性和必然性的真势模态的应用中,亚里士多德注意到该情况,以及在正规模态逻辑的情况中,这些模态算符对量化的关系可借助按关系语义设置模型来理解。

相关

  • 植物修复植物修复(英语:Phytoremediation,音标:/ˌfaɪtəʊrɪˌmiːdɪˈeɪʃən/) (Template:Ety) 是指利用植物修复受污染土壤的过程。植物修复是一种以植物为基础、具有成本效益的
  • 污染地下水污染是指在人类活动影响下,地下水水质朝着恶化方向发展的现象。地下水污染的就是有很多,这是国内主流的解释。
  • 国际和平局国际和平局成立于1891年,是世界上最早成立的国际和平组织,1910年获得诺贝尔和平奖。
  • 世界杯主办国国际足联世界杯主办地点是由国际足球联合会历届举办的会议决定。现时除了2002年、2010年外,其余的世界杯都是欧洲和美洲主办。参选国家:投票结果:参选国家:投票结果:参选国家
  • 粉红丝带粉红丝带是全球乳腺癌防治运动的标志。1992年女性健康杂志Self的主编开始着手编辑新一期全国防治乳腺癌运动的年刊。雅诗兰黛的副总裁,被邀请成为全国防治乳腺癌运动1992年年
  • 国立旗帜大学韩国国立旗舰大学 ( 朝鲜语:거점국립대학교/據點國立大學校 Keojeom Guklib Daehakgyo ) 是韩国政府在光复后以教育兴国为宗旨建立的10所国立大学。韩国最初的8个道和2个特别
  • 拉斯科洞窟壁画拉斯科洞窟(法语:Grotte de Lascaux)壁画,位于法国多尔多涅省蒙特涅克村的韦泽尔峡谷,是著名的石器时代洞穴壁画。1979年,拉斯科洞窟同韦泽尔峡谷内的许多洞穴壁画一起被选为世界
  • 彼得·杰克逊最佳导演 2001年 《指环王:护戒使者》 最佳影片 2001年 《指环王:护戒使者》 2003年 《指环王:王者归来》 土星奖最佳导演 2001年 《指环王:护戒使者》 2003年 《指环王:王
  • 杰伊·卡蒂小杰伊·J·卡蒂(英语:Jay J. Carty Jr.,1941年7月4日-2017年5月4日),美国NBA联盟前职业篮球运动员。他在1962年的NBA选秀中第6轮第46顺位被圣路易斯鹰选中。
  • 李昌宪李昌宪 (1954年-),出生在台南南化,台湾诗人,为笠诗社成员,长期编辑笠诗刊。其在1970年代曾经加入森林诗社、绿地诗社;1979年与向阳等人创立《阳光小集》,1984年6月该诗刊因故停刊,停刊