循环群

✍ dations ◷ 2025-07-19 06:53:26 #阿贝尔群论,有限群,群的性质

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在群论中,循环群(英文:cyclic group),是指能由单个元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群Z/Z,无限循环群则同构于整数加法群。每个循环群都是阿贝尔群,亦即其运算是可交换的。在群论中,循环群的性质已经被研究的较为透彻,是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。

( G , ) {\displaystyle (G,\cdot )} 折旋转对称的对称群为,属Zn抽象群类型。在三维里,亦存在其他代数地相同的对称群,详见三维点群。

需留意的是,圆的所有旋转所组成之群1(圆群)不是循环的,甚至不是可数的。

有限循环群的环图全是有着其元素在各个角上的边形。下面环图中的黑角表示是单位元,而其他的角则为群的其他元素。一个环包括著连接着单位元之元素的接续之次方。

所有循环群的子群及商群都是循环的。特别地,Z的子群为Z的形式,其中为非负整数。对于不同的 m ,Z 形式的子群是不同的,且除了当然群(=0)外都同构于Z。Z的子群格同构于以可除性排序之自然数格的对偶。所有Z的商群都是有限的,除了一个当然的例外Z/{0}之外。对每个的正约数,群Z/Z恰好有一个目的子群,它由/的剩余类所产生。其不存在其他的子群。故其子群格会同构于以可除性排序之的约数所组成的集合。

其中有一个很特别的:一个循环群是简单的当且仅当其目(元素数目)为素数。

举一个实际的问题,给定一个目之有限子群,其生成元为,并要求求得以某一整数之所生成的子群之大小。这里,会是能使能被整除之最小正整数。因此其为/,其中为和的最大公约数。换句话说,由产生之子群之指标为。其理由在数论中被称为指标计算算法。

阿贝尔群Z的自同态环会同构于此阿贝尔群,且使其构成一个环。在此同构之下,数字会对应于将每个元素映射至其次乘积之值上之Z的自同态。此一自同态只有在和互素时会是个双射函数,所以Z的自同构群会同构于群Zn×(见上面)。Z的自同构群有时会被称为Z的特征群,且此一群的建构会直接导致对狄利克雷特征的定义。

相似地,加法群Z的自同态环会同构于环Z,且其自同构群会同构于环Z的单位群,即{−1, +1} {\displaystyle \cong } 和Z的直积,因子Z有有限指数。任何格罗莫夫双曲群的阿贝尔子群都是逼肖循环群。

相关

  • 波兰语波兰 欧盟波兰语(język polski)是波兰的官方语言。也是西斯拉夫语支中使用人数最多的语种。波兰语在与外来语言的接触中受到了深刻的影响,如早期的拉丁语、捷克语、法语、德
  • 克洛维三世克洛维三世,(法语:Clovis III,拉丁语:Chlodovechus III;670年-676年),自675年10月起为法兰克人墨洛温王朝的奥斯特拉西亚国王(675年10月-676年)。克洛维三世可能是提乌德里克三世或克洛
  • 索伦霍芬索伦霍芬(Solenhofengraphic)是一处位于德国南部的著名采石场,该区生产的石灰岩多呈板状,适于用作屋顶或地板;而又以其颗粒细致,在18世纪还被大量应用在石版印刷,故得印版石石灰岩
  • 高尔机体高尔基体(英语:Golgi apparatus)是真核细胞中的一种细胞器。属于细胞的一组膜,专门收集并包裹各种物质,例如酶和激素。这些膜形成像一堆平板的扁囊,部分扁囊常常脱离并移向质膜,一
  • 泰安市泰安市是中华人民共和国山东省下辖的地级市,位于山东省中部,黄河之东。市境北与济南市接壤,东南与临沂市相接,南与济宁市毗邻,西与聊城市及河南省濮阳市隔黄河相望。地处山东丘陵
  • 北陆号列车北陆号列车(日语:ほくりく,转写:Hokukiru)是曾由日本国铁营运,后来由东日本旅客铁道和西日本旅客铁道营运的卧铺特急列车。东日本旅客铁道时期,列车营运区间为东京上野站和金泽之间
  • 叶永鋕事件叶永鋕事件是台湾一起关于性别平等教育议题的校园事件。叶永鋕生前就读于屏东县高树国中,因带有阴柔的性别气质而遭到部分同学霸凌,甚至曾被强行脱下裤子“验明正身”,因此叶永
  • 第23届日本电影学院奖第23回日本电影学院奖于2000年3月10日公布并举行颁奖仪式。
  • IBM WebSphere Application ServerIBM WebSphere Application Server(WAS)是由IBM遵照开放标准,例如Java EE、XML及Web Services,开发并发行的一种应用服务器。与其兼容的Web服务器包括Apache HTTP Server、Netsc
  • 1904年夏季奥林匹克运动会射箭比赛1904年夏季奥林匹克运动会于1904年9月19日至21日在美国圣路易斯举行。共有6个射箭项目。其中3个项目是男子赛事,另外3个是女子项目。此次比赛仅有美国一个国家参赛。