循环群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在群论中，循环群（英文：cyclic group），是指能由单个元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群Z/Z，无限循环群则同构于整数加法群。每个循环群都是阿贝尔群，亦即其运算是可交换的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。

设${\displaystyle (G,\cdot <!--\; \cdot \; -->)}$折旋转对称的对称群为，属Z_n抽象群类型。在三维里，亦存在其他代数地相同的对称群，详见三维点群。

需留意的是，圆的所有旋转所组成之群1(圆群)不是循环的，甚至不是可数的。

有限循环群的环图全是有着其元素在各个角上的边形。下面环图中的黑角表示是单位元，而其他的角则为群的其他元素。一个环包括著连接着单位元之元素的接续之次方。

所有循环群的子群及商群都是循环的。特别地，Z的子群为Z的形式，其中为非负整数。对于不同的 m ，Z 形式的子群是不同的，且除了当然群(=0)外都同构于Z。Z的子群格同构于以可除性排序之自然数格的对偶。所有Z的商群都是有限的，除了一个当然的例外Z/{0}之外。对每个的正约数，群Z/Z恰好有一个目的子群，它由/的剩余类所产生。其不存在其他的子群。故其子群格会同构于以可除性排序之的约数所组成的集合。

其中有一个很特别的：一个循环群是简单的当且仅当其目（元素数目）为素数。

举一个实际的问题，给定一个目之有限子群，其生成元为，并要求求得以某一整数之所生成的子群之大小。这里，会是能使能被整除之最小正整数。因此其为/，其中为和的最大公约数。换句话说，由产生之子群之指标为。其理由在数论中被称为指标计算算法。

阿贝尔群Z的自同态环会同构于此阿贝尔群，且使其构成一个环。在此同构之下，数字会对应于将每个元素映射至其次乘积之值上之Z的自同态。此一自同态只有在和互素时会是个双射函数，所以Z的自同构群会同构于群Z_n×(见上面)。Z的自同构群有时会被称为Z的特征群，且此一群的建构会直接导致对狄利克雷特征的定义。

相似地，加法群Z的自同态环会同构于环Z，且其自同构群会同构于环Z的单位群，即{−1, +1} ${\displaystyle \cong <!--\; \cong \; -->}$和Z的直积，因子Z有有限指数。任何格罗莫夫双曲群的阿贝尔子群都是逼肖循环群。