稀疏网格

✍ dations ◷ 2025-06-17 00:14:57 #稀疏网格

稀疏网格是表示、积分或插值高维函数的数值计算技术。最初是由俄罗斯数学家Sergey A. Smolyak （Lazar Lyusternik的学生）基于稀疏张量积构造发展。高效实现此类网格的计算机算法后来由Michael Griebel和Christoph Zenger 开发。

表示多维函数的标准方式是采用张量或完全网格。故用于存储、运算的基函数或节点的数量与维数指数增加。即使以今天的计算能力，也不可能处理超过 4 或 5 维的函数。

维度诅咒可以表示为使用 ${displaystyle N_{l}}$ ${displaystyle N_{l}}$ 个格点进行 ${displaystyle l}$ $l$ 阶积分积分误差。若函数的正则性为 ${displaystyle r}$ $r$ ，即 ${displaystyle r}$ $r$ 次可微，维数为 ${displaystyle d}$ $d$ ，则

${displaystyle |E_{l}|=O(N_{l}^{-{frac {r}{d}}})}$ ${displaystyle |E_{l}|=O(N_{l}^{-{frac {r}{d}}})}$

Smolyak 发现了基于单变量求积规则 ${displaystyle Q^{(1)}}$ ${displaystyle Q^{(1)}}$ 的计算上更为高效的多维函数积分方法。对 ${displaystyle d}$ $d$ 维函数 ${displaystyle f}$ $f$ ，Smolyak积分 ${displaystyle Q^{(d)}}$ ${displaystyle Q^{(d)}}$ 一个函数的可以写成具有张量积的递归公式：

${displaystyle Q_{l}^{(d)}f=left(sum _{i=1}^{l}left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}right)otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}right)f}$ ${displaystyle Q_{l}^{(d)}f=left(sum _{i=1}^{l}left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}right)otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}right)f}$

${displaystyle Q}$ $Q$ 的下标是离散化的水平，我们不妨令一维 ${displaystyle i}$ $i$ 阶的积分要对 ${displaystyle O(2^{i})}$ ${displaystyle O(2^{i})}$ 个点求值。正则性为 ${displaystyle r}$ $r$ 的函数的误差估计是：

${displaystyle |E_{l}|=Oleft(N_{l}^{-r}left(log N_{l}right)^{(d-1)(r+1)}right)}$ ${displaystyle |E_{l}|=Oleft(N_{l}^{-r}left(log N_{l}right)^{(d-1)(r+1)}right)}$

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