热带几何

热带几何是数学的一支，首先由巴西数学家兼计算机科学家 Imre Simon 于 1980 年代发展；“热带”一词源于部分法国数学家对巴西的刻板印想。大略言之，热带几何可谓是分片线性化的代数几何。它在计数代数几何中有重要的应用。

定义热带半环（又称极小-加法代数，见下述定义）为 ${\displaystyle (\mathbf{R}\cup <!--\; \cup \; -->\{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\},\oplus <!--\; \oplus \; -->,\otimes <!--\; \otimes \; -->)}$，其运算为：

此半环中的单项式不外就是线性映射；而多项式是对若干个线性映射取极小值，因此是个分片线性凹函数。称之为热带多项式。一个热带多项式 ${\displaystyle F}$ 的非光滑点集合称为热带超曲面。可以证明：

上述两种刻划提供了组合学与代数学之间的对应。给定一个合适的代数问题，我们可将之转化为较易处理的组合问题以求解。

一如代数几何中的情形，热带超曲面的定义可以推广到热带簇：取 ${\displaystyle K}$ 中的理想 ${\displaystyle I}$，定义相应的热带簇 ${\displaystyle V(I)}$ 为 ${\displaystyle I}$ 的变形体。可以证明 ${\displaystyle V(I)=\underset{f\in <!--\; \in \; -->I}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}V(f)}$，而且可取有限并集。

目前已有较深入研究的是平面上的热带几何。许多代数几何中的古典定理皆有相应的版本。