并矢张量

在多重线性代数里，并矢张量(dyadic tensor)是一个以特别标记法写出的二阶张量，是由成对的向量并置形成的。针对这特别标记法，有一套专门计算这种表达式，类似于矩阵代数规则的方法。并矢张量的每一对向量的并置称为并矢(dyad)。两个单位基底向量的并矢积称为单位并矢(unit dyad)。标量与单位并矢的乘积就是并矢。

例如，设定两个三维向量 ${\displaystyle \mathit{v}}$ 和 ${\displaystyle \mathit{w}}$ ，

其中，${\displaystyle \mathit{i}}$ 、${\displaystyle \mathit{j}}$ 、${\displaystyle \mathit{k}}$，形成了一个三维空间里的标准正交基的单位基底向量。

那么，${\displaystyle \mathit{v}}$ 与 ${\displaystyle \mathit{w}}$ 并置成为

其中，${\displaystyle \mathit{i}\mathit{i}}$ 、${\displaystyle \mathit{i}\mathit{j}}$ 、${\displaystyle \mathit{i}\mathit{k}}$ 等等，都是单位并矢，${\displaystyle v_1{w}_1\mathit{i}\mathit{i}}$ 、${\displaystyle v_1{w}_2\mathit{i}\mathit{j}}$ 、${\displaystyle v_1{w}_3\mathit{i}\mathit{k}}$ 等等，都是并矢。

并矢张量 ${\displaystyle \mathit{v}\mathit{w}}$ 也可以表达为

根据Morse与feshbach所著作的权威教科书，在三维空间里，并矢张量 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 是一个3×3阵列，其分量 ${\displaystyle A_{mn},m,n=1,2,3}$ ，当从一个坐标系变换到另外一个坐标系时，遵守协变变换(covariant transformation)的定律。

其中，${\displaystyle A_{ij}^{\prime }}$ 是变换后的分量。

所以，并矢张量是一个二阶协变张量。反过来说，按照这定义推广，任意二阶协变张量都是并矢张量：

应用点积，并矢张量 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 可以与向量 ${\displaystyle \mathit{v}}$ 综合在一起：

其中，${\displaystyle {\mathit{e}}_m}$ 、${\displaystyle {\mathit{e}}_n}$ 、${\displaystyle {\mathit{e}}_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}}$ ，都是标准正交基的基底向量。

注意到 ${\displaystyle ({\mathit{e}}_m{\mathit{e}}_n)\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathit{e}}_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}={\mathit{e}}_m{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{n\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}}$ ；其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{n\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}}$ 是克罗内克函数。所以，

这点积运算得到的结果是一个协变向量。

并矢张量的缩并(tensor contraction)运算，将每一个并置 ${\displaystyle {\mathit{e}}_m{\mathit{e}}_n}$ ，替换为两个单位基底向量的点积 ${\displaystyle {\mathit{e}}_m\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathit{e}}_n}$ ，以方程式表达为

只成立于三维空间，并矢张量的旋转因子运算，将每一个并置 ${\displaystyle {\mathit{e}}_m{\mathit{e}}_n}$ ，替换为两个单位基底向量的叉积 ${\displaystyle {\mathit{e}}_m\times <!--\; \times \; -->{\mathit{e}}_n}$ ，以方程式表达为

这也可以表达为 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 与列维-奇维塔符号 ${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{imn}}$ 的完全缩并：

两个向量 ${\displaystyle \mathit{v},\mathit{w}}$ 的并矢积 ${\displaystyle \mathit{v}\mathit{w}}$ 其实就是张量积 ${\displaystyle \mathit{v}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathit{w}}$ 。 两个并矢积作形式上的相加就是并矢张量，从而并矢张量和二阶张量（严格地说，是二阶的反变张量）是同义词。力学、电动力学中常见的例子就是单位并矢张量 ${\displaystyle \mathcal{I}=\mathit{i}\mathit{i}+\mathit{j}\mathit{j}+\mathit{k}\mathit{k}}$ 、转动惯量 ${\displaystyle \mathbf{I}=\iiint <!--\; \iiint \; -->(r^2\mathcal{I}-<!--\; -\; -->\mathit{r}\mathit{r})\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}dV}$ 以及马克士威应力张量等；量子力学中的角动量耦合(angular momentum coupling)理论也要用到并矢张量。

需要注意：并矢积是不可交换的，也就是说，除非两个矢量 ${\displaystyle \mathit{v},\mathit{w}}$ 线性相关，否则一定有 ${\displaystyle \mathit{v}\mathit{w}\ne <!--\; \ne \; -->\mathit{w}\mathit{v}}$。

在物理学中，并矢张量最重要的应用之一就是它和向量的缩并。对于并矢积 ${\displaystyle \mathit{v}\mathit{w}}$ 和向量 ${\displaystyle \mathit{u}}$ 的缩并，规定

如果要求这种规定也适用于量子力学中的态矢量，在这种情况下就要特别注意每个式子右端各个向量的先后顺序：用狄拉克符号来写，则 ${\displaystyle \mathit{u}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{v}=⟨<!--\; ⟨\; -->u|v⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。

设 ${\displaystyle V}$ 是域 ${\displaystyle F}$ 上的一个线性空间，则下述定义是等价的。

定义1. 对于任意 ${\displaystyle \mathit{v},\mathit{w}\in <!--\; \in \; -->V}$，称它们的张量积 ${\displaystyle \mathit{v}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathit{w}\in <!--\; \in \; -->V\otimes <!--\; \otimes \; -->V}$ 为 ${\displaystyle \mathit{v}}$ 和 ${\displaystyle \mathit{w}}$ 的并矢积并将其简记为 ${\displaystyle \mathit{v}\mathit{w}}$ ，称为并矢张量。更加推广，称 ${\displaystyle V\otimes <!--\; \otimes \; -->V}$ 中的元素为 ${\displaystyle V}$ 上的并矢张量，或者二阶反变张量。

定义2. 如果有 ${\displaystyle F}$ 上的一个线性空间 ${\displaystyle W}$ 以及双线性映射 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:V\times <!--\; \times \; -->V\to <!--\; \to \; -->W}$ 满足

则称 ${\displaystyle W}$ 中的元素为 ${\displaystyle V}$ 上的并矢张量或二阶反变张量，把 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathit{v},\mathit{w})}$ 记为 ${\displaystyle \mathit{v}\mathit{w}}$ 。

定义3. ${\displaystyle V}$ 上的并矢张量（或者二阶反变张量）这个概念可以按照下述规则来建立：

注： 所谓形式和，就是说我们既不刻意追究求和的实际含义，也关心求和的结果在哪个集合中，而只是知道这种求和满足交换律和结合律。

既然上述定义等价，我们就把 ${\displaystyle V}$ 上所有的并矢张量所构成线性空间记为 ${\displaystyle V\otimes <!--\; \otimes \; -->V}$。在此基础上，如果 ${\displaystyle V}$ 是一个内积空间并把 ${\displaystyle \mathit{v},\mathit{w}\in <!--\; \in \; -->V}$ 的内积记为 ${\displaystyle \mathit{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{w}}$（当 ${\displaystyle F=\mathbb{C}}$ 时，约定 ${\displaystyle \mathit{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{w}}$ 对 ${\displaystyle \mathit{v}}$ 是共轭线性的），则定义并矢张量 ${\displaystyle \mathbf{T}}$ 和矢量 ${\displaystyle \mathit{v}}$ 的缩并 ${\displaystyle \mathbf{T}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{v}}$ 和 ${\displaystyle \mathit{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{T}}$ 都是 ${\displaystyle V}$ 中的向量，满足下述运算律：

设定 ${\displaystyle \mathbf{M}}$ 为一个并矢张量：

${\displaystyle \mathbf{M}}$ 是一个二维空间的 90° 旋转算子 (rotation operator) 。它可以