子序列

在数学中，某个序列的子序列是从最初序列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置（在前或在后）而形成的新序列。

正式地说，假设 是集合而 () _∈ 是 中的序列，其中若 () 是有限序列，则 = {1,2,3,...,}；若 () 是无限序列，则 = ${\displaystyle \mathbb{N}}$) 的子序列是形如 ${\displaystyle (a_{n_r})}$) 是在索引集合 中严格递增序列。

假设有一条数列${\displaystyle X_n=(x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots <!--\; \cdots \; -->)}$。可以在里面抽出指定的项组成新的子数列，${\displaystyle X_n^{\prime }=(x_2,x_4,x_6,x_8,\cdots <!--\; \cdots \; -->)}$。

因为${\displaystyle X_n=(x_n)}$，${\displaystyle n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$是自然数，而且它会随着项数增加而增加，所以它的子数列${\displaystyle X_n^{\prime }=(x_{n_k})}$，${\displaystyle n_k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$都会随着项数增加而增加。

注意：子数列的次序必须和主数列的次序一样。

例子

${\displaystyle X_n=(1,2,3,4,5,6,7,8\cdots <!--\; \cdots \; -->)}$，只抽出双数项，就会有子数列。${\displaystyle X_n^{\prime }=(2,4,6,8\cdots <!--\; \cdots \; -->)}$。

有二种定义

令 ${\displaystyle (a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$ 为一任意序列及 皆为自然数。那么，称序列

是 ${\displaystyle (a_n)}$ 的一子序列。其符号表示为 ${\displaystyle (a_{n_j})}$，其中 ${\displaystyle j\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$ 是子序列的索引。

对任意两序列 ${\displaystyle (y_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$ 及 ${\displaystyle (a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$，称 ${\displaystyle (y_n)}$ 是 ${\displaystyle (a_n)}$ 的一子序列当且仅当

令 ${\displaystyle (a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$ 为一序列

那么，以下序列

是 ${\displaystyle (a_n)}$ 的子序列之一。对应定义里的自然数子序列 ${\displaystyle (n_1,n_2,n_3,\cdots <!--\; \cdots \; -->)}$ 为 ${\displaystyle (n^2{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$，而所对应的映射函数为 ${\displaystyle f(n)=n^2}$。

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