递归定义

✍ dations ◷ 2025-08-21 18:38:05 #递归论,定义,理论计算机科学,数理逻辑

递归定义是数理逻辑和计算机科学用到的一种定义方式，使用被定义对象的自身来为其下定义（简单说就是自我复制的定义）。递归定义与归纳定义类似，但也有不同之处。递归定义中使用被定义对象自身来定义，而归纳定义是使用被定义对象的已经定义的部分来定义尚未定义的部分。不过，使用递归定义的函数或集合，它们的性质可以用数学归纳法，通过递归定义的内容来证明。

大部分的递归定义都由三个部分构成：基本情况的定义，递归法则和递归结束的情况。如果定义的对象是无限的，那么可以省略第三个部分（递归结束的情况）。比如说，可以用递归定义的方式来定义如下的一个自然数集上的函数 $f {\displaystyle f}$ $f$ ：

这个定义在逻辑上是成立的，因为它首先定义了 $f {\displaystyle f}$ $f$ 在最小的自然数0上的取值，接下来对每个大于零的自然数 $n {\displaystyle n}$ $n$ ，只要重复有限多次定义的过程，最终就会回到对0的定义上。这样定义出的函数 $f {\displaystyle f}$ $f$ 就是阶乘函数。

递归定义和循环定义的不同之处在于，后者不包括对基本情况的定义。比如定义建立在整数集上的函数 $g {\displaystyle g}$ $g$ ：

则我们永远无法确定 $g {\displaystyle g}$ $g$ 的取值，这便是循环定义。

相关

电子9.109 383 56(11)×10-31 kg 5.485 799 090 70(16)×10-4 amu 0.510 998 9461(31) MeV/c电子（英语：Electron）是一种带有负电的亚原子粒子，通常标记为
凯特·布兰切特凯特·布兰切特（英语：Catherine Élise Blanchett，1969年5月14日－），生于澳大利亚墨尔本，知名澳大利亚电影及舞台剧女演员。凯特·布兰切特除了是史上同时拥有奥斯卡金像奖最佳女主
旺加里·马塔伊万加瑞·马塔伊（斯瓦希里语：Wangari Muta Maathai，1940年4月1日－2011年9月25日），肯尼亚的社会活动家，2004年诺贝尔和平奖得主，美国匹兹堡大学生物科学硕士。她是绿带运动和非洲减债
马伊达内克灭绝营纳粹集中营转移营比利时：布伦东克堡垒 · 梅赫伦转移营法国：居尔集中营 · 德朗西集中营意大利：波尔查诺转移营荷兰：阿默斯福特集中营 · 韦斯特博克转移营挪威：法斯塔德集中营部
34街-宾州车站34街-宾州车站（英语：34th Street–Penn Station）可以指：
液压缸液压缸（英语：Hydraulic cylinder），也称为线性的油压马达，是一种机械致动器，用来从单向的行程得到单向的力。许多应用都会使用到液压缸，尤其是在工程作业车辆中，像挖土机就利用液压
INRegistryINRegistry是负责管理印度的国家和地区顶级域.in和印度的IDN域名的组织。它由印度政府任命，并由印度国家互联网交换中心（英语：National Internet Exchange of India）创建及运营
Omni处理器Omni处理器（英语：Omni Processor）是比尔和梅林达盖茨基金会提出的一个名称，用于在发展中国家处理粪便污泥 - 人类排泄物和水的混合物 - 的一组物理，生物或化学处理过程。其中一个
弗丽达·达德利·沃德卡萨·莫里侯爵夫人威妮弗蕾德·梅 (Winifred May, Marquesa de Casa Maury; 1894年7月28日－1983年3月16日)，英国上流社会的社交名流，其第一次婚姻后的名字“弗丽达·达德利·
直木三十五直木三十五（1891年2月12日－1934年2月24日），日本小说作家、编剧、导演，本名植村宗一，“直木三十五”是他的笔名。他是大正与昭和时期著名的小说家。植村宗一于1891年（明治24年）2月12