特性函数

在概率论中，任何随机变量的特征函数（缩写：ch.f，复数形式：ch.f's）完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。与矩母函数不同，特征函数总是存在。如果FX是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：在概率密度函数fX存在的情况下，该公式就变为：如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。R或Rn上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足fX(x) = fX(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。勒维连续定理说明，假设 ( X n ) n = 1 ∞ {displaystyle (X_{n})_{n=1}^{infty }} 为一个随机变量序列，其中每一个 X n {displaystyle X_{n}} 都有特征函数 φ n {displaystyle varphi _{n}} ，那么它依分布收敛于某个随机变量 X {displaystyle X} ：如果且 φ ( t ) {displaystyle varphi (t)} 在   t = 0 {displaystyle t=0} 处连续， φ {displaystyle varphi } 是 X {displaystyle X} 的特征函数。勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F：一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。任意一个函数 φ {displaystyle varphi } 是对应于某个概率律 μ {displaystyle mu } 的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X1、X2、……、Xn是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且其中ai是常数，那么Sn的特征函数为：特别地， φ X + Y ( t ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) {displaystyle varphi _{X+Y}(t)=varphi _{X}(t)varphi _{Y}(t)} 。这是因为：注意我们需要 X {displaystyle X} 和 Y {displaystyle Y} 的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。另外一个特殊情况，是 a i = 1 / n {displaystyle a_{i}=1/n} 且 S n {displaystyle S_{n}} 为样本平均值。在这个情况下，用 X ¯ {displaystyle {overline {X}}} 表示平均值，我们便有：Oberhettinger (1973) 提供的特征函数表.由于连续定理，特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中。特征函数还可以用来求出某个随机变量的矩。只要第n个矩存在，特征函数就可以微分n次，得到：例如，假设 X {displaystyle X} 具有标准柯西分布。那么 φ X ( t ) = e − | t | {displaystyle varphi _{X}(t)=e^{-|t|}} 。它在 t = 0 {displaystyle t=0} 处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到 n {displaystyle n} 个独立的观测的样本平均值 X ¯ {displaystyle {overline {X}}} 具有特征函数 φ X ¯ ( t ) = ( e − | t | / n ) n = e − | t | {displaystyle varphi _{overline {X}}(t)=(e^{-|t|/n})^{n}=e^{-|t|}} ，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。具有尺度参数θ和形状参数k的伽玛分布的特征函数为：现在假设我们有：其中X和Y相互独立，我们想要知道X + Y的分布是什么。X和Y特征函数分别为：根据独立性和特征函数的基本性质，可得：这就是尺度参数为θ、形状参数为k1 + k2的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论：这个结果可以推广到n个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：如果 X {displaystyle X} 是一个多元随机变量，那么它的特征函数定义为：这里的点表示向量的点积，而向量 t {displaystyle t} 位于 X {displaystyle X} 的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法，就是：如果 X ∼ N ( 0 , Σ ) {displaystyle Xsim N(0,Sigma ),} 是一个平均值为零的多元高斯随机变量，那么：其中 | Σ | {displaystyle |Sigma |} 表示正定矩阵 Σ的行列式。如果 X {displaystyle X} 是一个矩阵值随机变量，那么它的特征函数为：在这里， T r ( ⋅ ) {displaystyle mathrm {Tr} (cdot )} 是迹函数，   X T {displaystyle XT} 表示 T {displaystyle T} 与 X {displaystyle X} 的矩阵乘积。由于矩阵XT一定有迹，因此矩阵X必须与矩阵T的转置的大小相同；因此，如果X是m × n矩阵，那么T必须是n × m矩阵。注意乘法的顺序不重要（ X T ≠ T X {displaystyle XTneq TX} 但   t r ( X T ) = t r ( T X ) {displaystyle tr(XT)=tr(TX)} ）。矩阵值随机变量的例子包括威沙特分布和矩阵正态分布。相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在，但矩母函数不是这样。特征函数与傅里叶变换有密切的关系：一个概率密度函数 p ( x ) {displaystyle p(x)} 的特征函数是 p ( x ) {displaystyle p(x)} 的连续傅里叶变换的共轭复数（按照通常的惯例）。其中 P ( t ) {displaystyle P(t)} 表示概率密度函数 p ( x ) {displaystyle p(x)} 的连续傅里叶变换。类似地，从 φ X ( t ) {displaystyle varphi _{X}(t)} 可以通过傅里叶逆变换求出 p ( x ) {displaystyle p(x)} ：确实，即使当随机变量没有密度时，特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。