音乐同构

在数学中，特别是黎曼几何跟微分流形的理论里，音乐同构（Musical isomorphism 或典范同构 canonical isomorphism）是指（伪）黎曼流形 的切丛 与余切丛 ${\displaystyle T^{\ast <!--\; \ast \; -->}M}$ 的黎曼度量 ${\displaystyle g=\underset{ij}{\sum <!--\; \sum \; -->}{g}_{ij}d{x}^i\otimes <!--\; \otimes \; -->d{x}^j}$∈，黎曼度量会诱导出一个映射 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{g}}_x}$ 属于 M，定义

其中符号 ${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->,⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

同构 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{g}}$ 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 ${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$ 中向量场，容易证明