第一基本形式

在微分几何中，第一基本形式（first fundamental form）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由 R3 中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字 I 表示：

设 (, ) 是一个参数曲面，则两个切向量的内积为

这里 , ,与 是第一基本形式的系数。

第一基本形式可以表示为一个对称矩阵

当第一基本形式写成一个参数时，它表示向量与自己的内积，

第一基本形式写成现代记法的度量张量。系数则可以写做 ${\displaystyle g_{ij}}$₁ 与 ₂ 的数量积：

对 , = 1, 2。具体例子可见下一节。

如果有一个曲面具有两个表示参数${\displaystyle X(u,v)}$ 和 微分得出

第一基本形式的系数可由取偏导数的点积得到：

球面的赤道可由 ${\displaystyle (u(t),v(t))=(t,\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2})}$ 取值于 0 到 ${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$, , 与 是第二基本形式（second fundamental form）的系数。

高斯的绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一基本形式及其导数表示，从而 事实上是曲面的一个内蕴不变量。高斯曲率用第一基本形式明确的表达式由 Brioschi 公式给出。