狄利克雷η函数

在数学的解析数论领域，狄利克雷η函数定义为：

其中 ζ 是黎曼ζ函数。但η函数也用常来定义黎曼ζ函数。对实部为正数的复数，也可定义为狄利克雷级数表达式形式:

表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个阿贝尔和，可定义为一个整函数，并由此可知ζ函数是一个极点在 = 1的单极点亚纯函数。

等价定义为：

定义在复平面上实部为正的区域，该定义形式是一个Mellin变换。

G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明：

因此能将其扩展到整个复数域。

大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单，合理的方法是应用交错序列的欧拉变换，得到：

注意第二个求和里面是前向差分。

彼得·波温（Peter Borwein）使用包含切比雪夫多项式的近似值用来得到η函数的高效求值方法。

如果：

则：

当${\displaystyle \mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}(s)\ge <!--\; \ge \; -->\frac{1}{2}}$的增加而很快集中于一点。

同样的:

自变量为正偶数的函数生成式为：

${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(2n)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2n}(2^{2n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->1)}{(2n)!}.}$