格拉德－沙弗拉诺夫方程

格拉德－沙弗拉诺夫方程为理想等离子体中用角向磁通描述等离子体平衡的方程。该方程最初的形式为二维的，但也可以通过一维格拉德－沙弗拉诺夫方程来描述一维螺旋磁镜位形的等离子体平衡。

${\displaystyle {\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{R}^2\frac{dp}{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\frac{d{F}^2}{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}$

其中 ${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}$ 为磁导率，${\displaystyle p(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}$ 为压强，${\displaystyle F(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})=R{B}_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}$

磁场与电流由下式给定：

${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}=\frac{1}{R}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}+\frac{F}{R}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{J}=\frac{1}{R}\frac{dF}{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{R}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=R\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}R}\left(\frac{1}{R}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}R}\right)+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{Z}^2}}$.

${\displaystyle u_{zz}+u_{yy}-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}{u}_y=y^{2}f(u)+g(u)}$