正方形

在平面几何学中，正方形是四边相等且四个角是直角的四边形。正方形是正多边形的一种：正四边形。四个顶点为ABCD的正方形可以记为 ◻ {displaystyle square } ABCD。正方形是二维的超方形，也是二维的正轴形。正方形是正四边形，是特殊的矩形、对称四边形、平行四边形。其四个内角为直角。除了四边四角相等的性质，正方形还有以下性质：正方形的周长是它的边长的4倍。如果边长为a，那么周长 P = 4 a {displaystyle P=4a} 。正方形的面积是其边长的平方。如果边长为a，那么面积 A = a 2 {displaystyle A=a^{2}} 。如果我们知道正方形的对角线长d，那么我们也可以之计算面积 A = d 2 2 {displaystyle A={frac {d^{2}}{2}}} ，如果正方形边心距为r，外接圆半径是R，那么 A = 4 r 2 {displaystyle A=4r^{2}} 。， A = 2 R 2 {displaystyle A=2R^{2}} 。若正方形的边长为整数，其面积就是一个完全平方数。在周长固定时，正方形的面积一定大于其他非正方形的四边形的面积。正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。这八个变换组成了一个群，是二面体群中的一个，记作D4。公元前五世纪时，毕达哥拉斯学派最早证明了正方形的对角线长度与边长长度的比例： 2 {displaystyle {sqrt {2}}} ，是无法表示为两个自然数的公比的。用同一种多边形不重叠地将平面“铺满”，称为平面的正镶嵌图。正方形是能够组成平面的正镶嵌图的三种正多边形之一（另外两种分别是正三角形和正六边形）。