欧拉函数 (复变函数)

在数学上，欧拉函数的定义如下

此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数及模形式函数，也是描述组合数学及复分析之间关系的典型范例。

欧拉函数的的倒数${\displaystyle 1/\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(q)}$展开成形式幂级数，其对应的系数${\displaystyle p(k)}$恰好是k的分割函数，亦即

其中${\displaystyle p(k)}$为k的分割函数。

五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式，其定理如下：

其中${\displaystyle (3n^2-<!--\; -\; -->n)/2}$为广义五边形数。

依拉马努金恒等式（英语：Ramanujan identity），欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系：

其中${\displaystyle q=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}$是nome（英语：nome (mathematics)）的平方。

上述二个函数都有模群（英语：modular group）下的对称性。