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欧拉函数 (复变函数)

✍ dations ◷ 2025-02-23 07:18:50 #数论,组合数学,椭圆函数

在数学上，欧拉函数的定义如下

此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数及模形式函数，也是描述组合数学及复分析之间关系的典型范例。

欧拉函数的的倒数 $1/\phi (q)$ $1/\phi(q)$ 展开成形式幂级数，其对应的系数 $p(k)$ $p(k)$ 恰好是k的分割函数，亦即

其中 $p(k)$ $p(k)$ 为k的分割函数。

五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式，其定理如下：

其中 $(3n^{2}-n)/2$ $(3n^2-n)/2$ 为广义五边形数。

依拉马努金恒等式（英语：Ramanujan identity），欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系：

其中 $q=e^{2\pi i\tau }$ $q=e^{2\pi i\tau}$ 是nome（英语：nome (mathematics)）的平方。

上述二个函数都有模群（英语：modular group）下的对称性。

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