欧拉函数 (复变函数)

✍ dations ◷ 2025-07-21 22:54:17 #数论,组合数学,椭圆函数

在数学上,欧拉函数的定义如下

此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数及模形式函数,也是描述组合数学及复分析之间关系的典型范例。

欧拉函数的的倒数 1 / ϕ ( q ) {\displaystyle 1/\phi (q)} 展开成形式幂级数,其对应的系数 p ( k ) {\displaystyle p(k)} 恰好是k的分割函数,亦即

其中 p ( k ) {\displaystyle p(k)} 为k的分割函数。

五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式,其定理如下:

其中 ( 3 n 2 n ) / 2 {\displaystyle (3n^{2}-n)/2} 为广义五边形数。

依拉马努金恒等式(英语:Ramanujan identity),欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系:

其中 q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} 是nome(英语:nome (mathematics))的平方。

上述二个函数都有模群(英语:modular group)下的对称性。

相关

  • 动作电位动作电位(英文:action potential),指的是静止膜电位状态的细胞膜受到适当刺激而产生的,短暂而有特殊波形的跨膜电位搏动。细胞产生动作电位的能力被称为兴奋性,有这种能力的细胞如
  • 纤维心包心包,又名心膜,是一个圆锥形双层纤维浆膜囊,包裹心脏和出入心脏大血管根部。心包的两层分别为:心包的学名pericardium来自希腊语的περι(环绕、周围)与κάρδιον(心脏)两字
  • 原子簇原子簇(英语:clusters),在物理学中,术语“簇”是用于表示多原子的小粒子。卢嘉锡将“clusters”译为“原子簇”,将“Cluster Compound”译为“原子簇化合物”,而把“Transition Met
  • 杜诗杜诗(前1世纪?-38年),字君公,河内郡汲县人,东汉官员及发明家。年轻时有才能,在那里任官为功曹,以公平著称。更始政权时,被征辟为大司马府官员。建武元年(25年),一年内三次升迁至侍御史。
  • 威廉·伯顿威廉·基宁蒙德·伯顿(英语:William Kinninmond Burton,1856年5月11日-1899年8月5日),又译为爸尔登,英国苏格兰爱丁堡人,应台湾总督府之邀担任卫生工程顾问技师,进行台湾各地卫生工程
  • 海洋怪声海洋怪声(英语:the Bloop)是美国国家海洋及大气管理局(NOAA)于1997年夏天在南太平洋侦测到的超低频深海声音讯号。研究者认为这个声音可能来源于生物,由于其为相距数千英里的几个
  • 原田要原田要(日语:はらだ かなめ、1916年8月11日-2016年5月3日)是一位出生于日本长野县的第二次世界大战(以下简称二战)王牌飞行员。他在1941年底一直到被击落而身受重伤的1942年10月间
  • 21卫门《21卫门》是藤子·F·不二雄的漫画作品,并改编为动画及动画电影。漫画最早连载于1968年至1969年的《周刊少年Sunday》,共有56话。并于1971年到1972年,集结为首版的单行本3卷,19
  • 乌尔比诺公国乌尔比诺公国(Ducato (Contea) di Urbino,1213年-1631年),是一个曾经存在于意大利北部的主权国家。乌尔比诺最早是由腓特烈二世于1213年所设郡的,并于之后任命来自蒙特费尔特罗家
  • 马尼拉广播公司马尼拉广播公司(英语:Manila Broadcasting Company,缩写:MBC)是菲律宾的一家广播电视网,创立于1946年6月12日,目前由Fred J. Elizalde领导的FJE集团公司所有。其旗下的DZRH电台是菲