七元域上二阶方阵的特殊射影线性群

✍ dations ◷ 2025-08-19 11:14:15 #射影几何,有限群

数学上,射影特殊线性群 PSL (2,7)(同构于 GL(3,2))是一个有限单群,在代数、几何和数论中有重要应用。 它是 Klein 四次曲线的自同构群,也是 Fano 平面的对称群。 具有168个元素的 PSL (2,7) 是继交错群 A5(5文字的对称群的子群,有60个元素,同构于正二十面体的旋转对称群,也同构于 PSL (2,5))之后第二小的非阿贝尔单群。

一般线性群 GL (2,7) 由 F7(七元素的有限域)上所有可逆的二阶方阵组成。它们的行列式不为零。子群 SL (2,7) 包含所有行列式为单位的矩阵。PSL (2,7) 则定义为在

上视 I 和 -I 等同得到的商群,其中 I 是单位矩阵。 在本文中,我们用 G 表示任一与 PSL (2,7) 同构的群。

= PSL(2, 7) 有 168 个元素,这可通过统计可能的列数得到:第一列有72−1 = 48 种可能,第二列有 72−7 = 42。为使行列式为 1,必须再除以 7−1 = 6,又因视 I 和 -I 为等同,必须再除以 2,结果是 (48×42)/(6×2) = 168.

有一个普遍的结果,即 PSL(, ) 是单群当 , ≥ 2 ( 是某质数之幂), 除非 (, ) = (2, 2) or (2, 3). PSL(2, 2) 同构于对称群 3, 而 PSL(2, 3) 同构于交错群 4. 实际上,PSL(2, 7) 是第二小的非阿贝尔单群,仅次于交错群 A5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

共轭类和不可约表示的个数是 6。共轭类的大小分别是 1, 21, 42, 56, 24, 24。不可约表示的维数分别是 1, 3, 3, 6, 7, 8.

特征标表

这里:

下表按类中元素的阶、类的大小、每个代表元在 GL(3, 2) 中的最小多项式和一个代表元在 PSL(2, 7) 中的函数表示描述各个共轭类。注意类 7A 在 7B 在一个自同构下互换,因此出自 GL(3, 2) 和 PSL(2, 7) 的代表元可任意切换。

群的阶是 168=3×7×8,因此必有 3,7,8 阶的 Sylow 子群。头两个容易描述,它们是循环群,因为任何质数阶群是循环群。共轭类 356 中任一元素生成 Sylow 3-子群。共轭类 724, 724 中任一元素生成 Sylow 7-子群。Sylow 2-子群是八阶二面体群。它可以描述为共轭类 221 中任一元素的中心化子 在用 GL(3, 2) 表示时,任一 Sylow 2-子群由上三角矩阵组成。

该群及其 Sylow 2-子群提供了多个正规 p-补定理在 = 2 情形时的反例。

= PSL(2, 7) 通过分式线性变换作用在七元域上的射影直线 P1(7) 上:

For  γ = ( a b c d ) PSL ( 2 , 7 )  and  x P 1 ( 7 ) ,   γ x = a x + b c x + d {\displaystyle {\mbox{For }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(2,7){\mbox{ and }}x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}} = PSL(2, 7) 在几何上可以考虑作射影直线 P1(7) 的对称群;整个可能的保定向的射影直线自同构群却是它的 2 阶扩张 PGL(2, 7),而这个射影直线的直射变换群则是整个点的对称群。

但是, PSL(2, 7) 亦同构于 PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)),二元域上三阶方阵的特殊(一般)线性群。以相似的方式, = PSL(3, 2) 作用在二元域上的射影平面 P2(2) —— 或叫Fano 平面上:

For  γ = ( a b c d e f g h i ) PSL ( 3 , 2 )  and  x = ( x y z ) P 2 ( 2 ) ,   γ     x = ( a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + i z ) {\displaystyle {\mbox{For }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2){\mbox{ and }}\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}} = PSL(3, 2) 可视为该射影平面的对称群。Fano 平面可用于描述八元数的乘法,因此 在八元数的乘法表上也有一个作用。

Klein 四次曲面是是在复数域 C 上按下面的四次多项式定义的射影簇:

这是一个亏格 g=3 的紧黎曼面,也是仅有的使共形自同构群的大小达到最大值 84(−1) 的紧黎曼面。这个界是因为 Hurwitz 自同构定理,该定理对所有 >1 成立。这样的“Hurwitz 曲面”很稀少;下一个存在这样曲面的亏格数为 = 7,再下一个是 = 14。

如同所有的 Hurwitz 曲面,Klein 四次曲线可以给定一个常负曲率的度量,并以正 (双曲的) 七边形镶嵌,作为3阶七边形镶嵌之商,而曲面作为 Riemann 面或代数曲线的自同构也就是镶嵌的自同构。对于 Klein 四次曲面来说,这会得到一个 24 个七边形构成的镶嵌,因此群的阶为 24 × 7 = 168. 对偶地,它可以用 56 个等边三角形镶嵌,共计 24 个顶点,每个顶点度数为 7,成为7阶三角形镶嵌之商。

Klein 四次曲面在数学的多个领域都有出现,包括表示论、同调论、八元数乘法、Fermat 大定理和具有类数 1 的虚二次数域上的Stark 定理。

PSL(2, 7) 是 Mathieu 群 M21 的极大子群。Mathieu 群 M21 和 M24 可由 PSL(2, 7) 作扩张得到。这些扩张可以用 Klein 四次曲面的镶嵌的语言解释,但不能通过镶嵌的几何对称实现。

PSL(2,7) 作用在多种集合上:

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