概率公理

概率公理（英语：Probability axioms）是概率论的公理，任何事件发生的概率的定义均满足概率公理。因其发明者为安德烈·柯尔莫果洛夫，也被人们熟知为柯尔莫果洛夫公理（Kolmogorov axioms）。某个事件 E {displaystyle E} 的概率 P ( E ) {displaystyle P(E)} 是定义在“全体”（universe）或者所有可能基础事件的样本空间 Ω {displaystyle Omega } 时，概率 P {displaystyle P} 必须满足以下柯尔莫果洛夫公理。也可以说，概率可以被解释为定义在样本空间的子集的σ代数上的一个测度，那些子集为事件，使得所有集的测度为 1 {displaystyle 1} 。这个性质很重要，因为这里提出条件概率的自然概念。对于每一个非零概率A都可以在空间上定义另外一个概率：这通常被读作“给定A时B的概率”。如果给定A时B的条件概率与B的概率相同，则A与B被称为是独立的。当样本空间是有限或者可数无限时，概率函数也可以以基本事件 { e 1 } , { e 2 } , . . . {displaystyle {e_{1}},{e_{2}},...} 定义它的值，这里 Ω = { e 1 , e 2 , . . . } {displaystyle Omega ={e_{1},e_{2},...}} 。假设我们有一个基础集 Ω {displaystyle Omega } ，其子集的集合 F {displaystyle {mathfrak {F}}} 为σ代数，和一个给 F {displaystyle {mathfrak {F}}} 的元素指定一个实数的函数 P {displaystyle P} 。 F {displaystyle {mathfrak {F}}} 的元素是 Ω {displaystyle Omega } 的子集，称为“事件”。即，任一事件的概率都可以用 0 {displaystyle 0} 到 1 {displaystyle 1} 区间上的一个实数来表示。即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了。这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义。即，不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠，这一关系不成立。如想通过代数了解柯尔莫果洛夫的方法，请参照随机变量代数。从柯尔莫果洛夫公理可以推导出另外一些对计算概率有用的法则。这一关系给出了贝叶斯定理。以此可以得出A和B是独立的当且仅当