朗斯基行列式

在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家约瑟夫·侯恩·朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。

对于给定的 个 次连续可微函数，、...、，它们的朗斯基行列式 为：

行列式的第 行是、...、 各函数的 次导数。组成这个行列式的 阶方阵也称作这 个函数的基本矩阵。

在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。

朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。

对于 个 次连续可微函数 、...、，它们的朗斯基行列式  :

定理：

如果、...、 在一個區間 上線性相關，則 在區間 上恆等於零。

也就是说，如果在某些点上 不等于零，则 、...、 线性无关

注意，若 在区间 上恒等于零，函数组不一定线性相关。

考虑 阶线性微分方程：

其中${\displaystyle a_1(t),a_2(t),\cdots <!--\; \cdots \; -->,a_n(t),f(t)}$,] 上的连续函数。并考虑${\displaystyle f(t)=0}$ 阶齐次线性微分方程的情形：

对于一组给定的初始值：

方程 (1) 有唯一解${\displaystyle x=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)}$个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集构成一个线性空间，称为 (2) 的解空间。

如果 、...、 在一个区间 上线性相关，则存在不全为零的系数${\displaystyle c_1,c_2\cdots <!--\; \cdots \; -->,c_n}$,] 上的任意 ，

因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组：

将${\displaystyle c_1,c_2\cdots <!--\; \cdots \; -->,c_n}$ 元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式 = 0。

进一步可以证明， 要么在区间 上恒等于零，要么处处不为零（没有零根）。于是可以证明 (2) 有 个线性无关的解，并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以， (2) 的解空间是一个 维线性空间。 (2) 一组 个线性无关的解称作它的一个基本解组。

1. 考虑三个函数：1、和，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

不等于零，因此，这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

2.考虑另三个函数：1、和2+3，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

事实上三者线性相关。

3.上面已经提到，朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例：考虑两个函数，和||，即的绝对值。计算两者的朗斯基行列式

他们的朗斯基行列式恒等于零，但两者显然线性无关。