伯特兰投票问题

✍ dations ◷ 2025-12-01 18:23:48 #投票理论,包含证明的条目,组合计数

在组合数学中，伯特兰投票问题是指，在一场选举中候选人A得到了p张选票，而候选人得到了q张选票（p>q），那么在整个点票过程中A的票数都严格大于B的概率是多少。这个问题的答案是

这个结果首次由W. A. Whitworth于1878年发布，但最终以在1887年重新发现这个问题的约瑟·伯特兰的名字命名。

假设有5名选民，其中3名候选人投票给，2名候选人投票给（即 = 3， = 2），则投票顺序有以下十种可能性：

假设投票顺序为，则点票过程中点完每一票的结果为：

对于每一列（即点完每一票后），的票数始终大于的票数，因此的票数始终严格领先于而对于的顺序，随着选举的进行，选票总数为：

对于这个投票顺序，在第四次投票后与并列，因此并不总是严格地领先于在10个可能的顺序中，只有和两个顺序满足总是领先于因此，始终严格领先的概率为

这与定理得出的 ${\frac {3-2}{3+2}}$ 个整数上的随机游走数量，从坐标原点开始到点终止，且不到达负数的范围。假设和具有相同的奇偶性，且 $n\geq m\geq 0$ 为投票问题中的较大数，为两候选人票数之差，即可得到该问题的结果。当且为偶数时，可以通过卡塔兰数 ${\frac {1}{{\tfrac {n}{2}}+1}}{\binom {n}{\tfrac {n}{2}}}$ ${\frac {1}{{\tfrac {n}{2}}+1}}{\binom {n}{\tfrac {n}{2}}}$ 确定结果。

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