1 + 2 + 3 + 4 + …

无穷级数中1 + 2 + 3 + 4 + …为所有自然数的和，是一个发散级数，其数学式也写作 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}n}$ 项的部分和即是三角形数：

尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透过黎曼ζ函数正规化（英语：Zeta function regularization）与拉马努金求和等方法可产生一有限值 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{1}{12}}$ 加到 的和是 ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$ 的实部大于 1， 次方的黎曼ζ函数等于求和 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^{-<!--\; -\; -->s}}$ 的实部小于或等于 1 时和式发散，但当 = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{1}{12}}$。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉马努金另外给其定义，其拉马努金和为 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{1}{12}}$。

在玻色弦理论中，我们想算出一个弦的可能的能量级，特别是最低能量级。非正式地说，每一个弦的谐波可以视为一组 ${\displaystyle D}$ 无关量子谐振子，这里 ${\displaystyle D}$ 是时空的维数。如果基本振子频率是 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 则一个振子对 ${\displaystyle n}$ 级谐波的贡献是 ${\displaystyle \frac{n\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2}}$。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(D-<!--\; -\; -->2)}{24}}$。最后这确实是正确的，与Goddard–Thorn theorem（英语：no-ghost theorem）一起，导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力。

在拉马努金写给戈弗雷·哈罗德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：