精确覆盖问题

✍ dations ◷ 2025-07-30 01:46:41 #理论计算机科学,NP完全问题

在一个全集X中若干子集的集合为S,精确覆盖是指,S的子集S*,满足X中的每一个元素在S*中恰好出现一次。

在计算机科学中,精确覆盖问题指找出这样的一种覆盖,或证明其不存在。这是一个NP-完全问题,也是卡普的二十一个NP-完全问题之一。

满足以下条件的集合为一个精确覆盖:

合二为一,即X中的元素在S*中出现恰好一次。

S {\displaystyle {\mathcal {S}}} , , , } 是集合 = {1, 2, 3, 4}的一个子集的集合,并满足:

其中一个子集 {, } 是 的一个精确覆盖,因为 = {1, 3} 而 = {2, 4} 的并集恰好是 = {1, 2, 3, 4}。同理, {, , } 也是 .的一个精确覆盖。空集并不影响结论。

通常我们用S的每个子集与X的元素之间包含关系的二元关系来表示精确覆盖问题。

包含关系可以用一个关系矩阵表示。. 矩阵每行表示S的一个子集,每列表示X中的一个元素。矩阵行列交点元素为1表示对应的元素在对应的集合中,不在则为0.

通过这种矩阵表示法,求一个精确覆盖转化为求矩阵的若干个行的集合,使每列有且仅有一个1。同时,该问题也是精确覆盖的典型例题之一。

下图为其中一个例子:

S* = {, , } 便是一个精确覆盖。

包含关系也可以用一个二分图表示。

二分图左侧每个节点表示S的每个集合,右侧每个节点表示X的每个元素,而精确覆盖便是一种匹配,满足右侧的每个点恰好有一条边。

Exact-cover-bigraphExact-cover-bigraph-solved

X算法是高德纳提出的解决该问题的算法,而舞蹈链算法(Dancing Links,DLX)算法是X算法在计算机上的一种高效实现。

相关

  • 伯纳德·布罗迪伯纳德·贝里尔·布罗迪(英语:Bernard Beryl Brodie,1907年8月7日-1989年2月28日),英国生物化学家。1940年代至1950年代专注于现代药理学研究,并将该学科堆到现代科学的前台。他是
  • 植物生理障碍植物生理障碍是由光线不良、天气不良、水分测量、植物毒素化合物或缺乏营养物质等非病理条件引起的,影响植物系统的功能。生理障碍与病原体如病毒或真菌引起的植物病害区分开
  • 铽化合物铽化合物是镧系金属铽(元素符号:Tb)形成的化合物,在这些化合物中,铽一般显+3价,如TbCl3、Tb(NO3)3等;+4价的铽化合物如TbO2、BaTbF6也是已知的。三价铽离子在水溶液中一般是无色的,
  • 小密苏里河小密苏里河(英语:Little Missouri River)是密苏里河的一条支流,长901公里,位于美国大平原的北部。小密苏里河发源于怀俄明州的东北部克鲁克县魔鬼塔以西大约24公里,之后流向东北,跨
  • 丹内尔·马洛伊丹内尔·马洛伊(Dannel Malloy;1955年7月21日-)是美国政治人物。现任康涅狄格州州长、美国民主党州长协会主席。丹内尔·马洛伊的党籍是民主党。他在踏入政坛之前是一位律师。
  • 阿塔纳修斯·基歇尔阿塔纳修斯·基歇尔(德语:Athanasius Kircher,拉丁化也作Athanasius Kircherus Fuldensis,1602年5月2日-1680年11月27日),17世纪德国耶稣会成员和通才。他一生大多数时间在罗马的罗
  • 榊原英资榊原英资(日语:榊原 英資/さかきばら えいすけ ;1941年3月27日-),出身日本神奈川县的经济学者、青山学院大学客座教授,曾是日本国大藏省官僚,专长为国际金融学。榊原英资出身公务员
  • 侯俊杰 (作家)侯俊杰(1961年9月28日-),笔名侯捷,台湾知名电脑技术专栏作家,致力于电脑技术之扎根工作,文章兼具科技之长与灵性之美,有读者的评语是“比作家更工程师,比工程师更作家”。大同国中、
  • 德川义宜德川义宜(1858年7月4日-1875年11月24日)是德川御三家之一的尾张藩第十六代藩主。第十四代藩主德川庆胜第三子,母亲是侧室武藤氏于玉。幼名元千代,号松堂。无子女。官职是从三位左
  • Are you Alice?《Are you Alice? - Drink me.》封面《Are you Alice?》(日语:アー・ユー・アリス?)是日本剧本、小说家二宫爱以童话故事《爱丽丝梦游仙境》和《爱丽丝镜中奇遇》为背景而虚构