指标的上升和下降

✍ dations ◷ 2025-12-08 16:29:42 #张量

在数学与数学物理中，给定流形上一个张量，若在已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个 (, ) 张量变成一个 ( + 1, − 1) 张量（上升）或一个 ( − 1, + 1) 张量（下降）。这里记号 (, ) 用于表示张量的秩 + ，有个上指标和个下指标。

可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做缩并。下文在对重复指标求和时使用爱因斯坦记号。

乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标：

而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标：

对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆：

这里是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。

闵可夫斯基空间具有度量张量

共变电磁张量由下式给出

为了得到共变张量 $F_{\mu \nu }\,$ $F_{\mu \nu }\,$ ，我们用

注意因为 $g_{\mu \nu }\,$ $g_{{\mu \nu }}\,$ 是对角的，上式中许多项其实没有：

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

因为度量张量中的因子都是 -1。

类似

将它们放在一起，我们得到：

相关

吉布斯自由能在热力学里，吉布斯能（英语：Gibbs Free Energy），又称吉布斯自由能、吉布斯函数、自由焓，常用英文字母 G {\displaystyle G} 标记。吉布
电感耦合等离子体质谱法电感耦合等离子体质谱法（英语：Inductively coupled plasma mass spectrometry，简称ICP-MS）拥有高的分析灵敏度和动态范围，可以分析同位素组成，从Li到U（Ar除外，一般电感耦合等离子体
反演反演是种几何变换。给定点 O {\displaystyle O} 、常数 k {\displaystyle k} ，点
阿纳科特斯阿纳科特斯（英语：Anacortes）位于美国华盛顿州的斯卡吉特县。它的名字“Anacortes”是来自安娜·柯提斯（Anna Curtis）－－早期费多戈岛（Fidalgo Island）移民阿莫斯·鲍曼（Amos Bowman）的妻
夏季奥林匹克运动会马术比赛马术自1900年巴黎夏季奥运会起成为每届夏季奥运会比赛项目，但到1912年之间没有马术比赛，以后一直都有马术比赛。
芳香味化合物芳香味化合物（英语：Aroma compound），同时也被称为气味分子，芳香，香味，或香气，是具有味道或气味的化学化合物。当一个化学化合物有足够的挥发性，就会被送至鼻子上部的嗅觉系统。代表这
福岩福岩（英语：Fortunes Rocks）是美国缅因州约克县比迪福德一个海边社区，位于马萨诸塞州波士顿以北约85英里（140千米），1999年美国作家安妮塔·雪瑞佛（Anita Shreve）的著作“命运之岩”（For
李彦华李彦华（1982年10月7日－）昵称烟花妹妹，出生于中国大陆四川省成都市，为知名模特儿，是2006年德国世界杯足球宝贝。1982年，李彦华出生于四川省成都市，后在成都市工作。2006年，李彦华作为
乔治·格罗史密斯乔治·格罗史密斯（George Grossmith，1847年12月9日－1912年3月1日）是英国喜剧演员、作家、歌手，曾任《泰晤士报》记者，1870年从事歌唱及演艺生涯，曾演出吉伯特与苏利文（Gilbert and S
蔡斗移蔡斗移（？－？），字元运，湖广黄州府蕲水县人，军籍，明朝政治人物。湖广乡试第四名，万历五年（1577年）丁丑科进士。历官临江府知府，升长芦运盐使司运使。曾祖父蔡霦；祖父蔡昇；父蔡月濂，王府良医。嫡