指标的上升和下降

✍ dations ◷ 2025-04-04 20:52:55 #张量

在数学与数学物理中，给定流形上一个张量，若在已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个 (, ) 张量变成一个 ( + 1, − 1) 张量（上升）或一个 ( − 1, + 1) 张量（下降）。这里记号 (, ) 用于表示张量的秩 + ，有个上指标和个下指标。

可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做缩并。下文在对重复指标求和时使用爱因斯坦记号。

乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标：

而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标：

对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆：

这里是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。

闵可夫斯基空间具有度量张量

共变电磁张量由下式给出

为了得到共变张量 $F_{\mu \nu }\,$ $F_{\mu \nu }\,$ ，我们用

注意因为 $g_{\mu \nu }\,$ $g_{{\mu \nu }}\,$ 是对角的，上式中许多项其实没有：

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

因为度量张量中的因子都是 -1。

类似

将它们放在一起，我们得到：

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