五次方程

✍ dations ◷ 2025-07-11 06:54:39 #方程,伽罗瓦理论,多项式

五次方程是一种最高次数为五次的多项式方程。本条目专指只含一个未知数的五次方程(一元五次方程),即方程形如

其中,、、、、和为复数域内的数,且不为零。例如:

寻找五次方程的解一直是个重要的数学问题。一次方程和二次方程很早就找到了公式解,经过数学家们的努力,后来三次方程及四次方程也有了解答,但是之后很长的一段时间里没有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下,解五次方程显得格外的困难。

后来,保罗·鲁菲尼(英语:Paolo Ruffini)和尼尔斯·阿贝尔证明了一般的五次方程,不存在统一的根式解(即由方程的系数通过有限次的四则运算及根号组合而成的公式解)。认为一般的五次方程没有公式解存在的看法其实是不正确的。事实上,利用一些超越函数,如Θ函数或戴德金η函数即可构造出五次方程的公式解。另外,若只需求得数值解,可以利用数值方法(如牛顿法)得到相当理想的解答。

证明一般五次以上的方程无根式解的人是埃瓦里斯特·伽罗瓦,他巧妙地利用群论处理了上述的问题。

对于一般的五次方程

可以借由以下的转换

得到一个 y {\displaystyle y\,} 的五次多项式,上述的转换称为契尔恩豪森转换(英语:Tschirnhaus transformation)(Tschirnhaus transformation),借由特别选择的系数 b i {\displaystyle b_{i}\,} ,可以使 y 4 {\displaystyle y^{4}\,} , y 3 {\displaystyle y^{3}\,} , y 2 {\displaystyle y^{2}\,} 的系数为 0 {\displaystyle 0\,} ,从而得到如下的方程:

以上的化简方法是由厄兰·塞缪尔·布灵(英语:Erland Samuel Bring)所发现,后来乔治·杰拉德(英语:George Jerrard)也独立发现了此法,因此上式称为布灵·杰拉德正规式(Bring-Jerrard normal form)。 其步骤如下: 首先令

可消去四次方项,得到

其中,

接下来,令 z = y 2 + p y + q {\displaystyle z=y^{2}+py+q\,} , 得到

再令 P = Q = 0 {\displaystyle P=Q=0\,} , 求得

第三步,利用契尔恩豪森想到的方法,令:

代入

得到

再令 R = S = T = 0 {\displaystyle R=S=T=0\,} , 则得 b 4 = 3 A b 1 + 4 B 5 {\displaystyle b_{4}={\frac {3Ab_{1}+4B}{5}}\,} , 若令 b 2 = 4 B b 1 + 5 C 3 A {\displaystyle b_{2}=-{\frac {4Bb_{1}+5C}{3A}}\,} , 则 b 1 {\displaystyle b_{1}\,} b 3 {\displaystyle b_{3}\,} 可由以下两个方程解得:


若以函数的观点来看,方程

的解有两个自变量 U {\displaystyle U\,} , 和 V {\displaystyle V\,}

若再令

则方程可以进一步化简为如下形式:

它的解 ξ {\displaystyle \xi \,} 是单一变量 t {\displaystyle t\,} 的函数。

虽然一般的五次方程不存在根式解,但是对于某些特殊的五次方程,满足某些条件后还是有根式解的。



其中


相关

  • 认知行为疗法认知行为治疗(英语:Cognitive Behavioral Therapy,简称 CBT)是一种心理治疗的取向、一种谈话治疗,以目标导向与系统化的程序,解决丧失功能的情绪、行为与认知问题。不同的治疗方式
  • 低密度脂蛋白胆固醇低密度脂蛋白(英语:low-density lipoprotein,缩写为LDL)指一类及范围的脂蛋白粒子,有着约18-25纳米直径的大小,负责在血液内运载脂肪酸分子至全身供细胞使用。它是由肝脏所产生的
  • Wallace, Alfred阿尔弗雷德·拉塞尔·华莱士 OM FRS(英语:Alfred Russel Wallace,1823年1月8日-1913年11月7日),英国博物学者、探险家、地理学家、人类学家和生物学家,以“天择”独立构想演化论而
  • 近交系小鼠近交系动物(英语:Inbred Strain Animals)是指经过至少连续20代的、完全由同胞兄弟姐妹交配、或者亲代与子代交配而培育的、近交系数大于99%的动物品系。在近交系中,所有个体都可
  • 位置矢量在三维空间里,相对于某参考点,一个质点的位置,可以用位置矢量来表示。设定一坐标系,参考这坐标系,质点的坐标,就是相对于这坐标系的原点的位置矢量。在运动学里,位置矢量是描述质点
  • 博恩哈德三世 (萨克森-迈宁根)博恩哈德三世·弗雷德里克·威廉·阿尔布雷希特·格奥尔格(Bernhard III Frederick Wilhelm Albrecht Georg,1851年4月1日-1928年1月16日),出生于迈宁根。萨克森-迈宁根末代公爵
  • 赛音呼·钢巴特尔赛音呼·钢巴特尔(蒙古语:Сайнхүүгийн Ганбаатар,Sainkhüügiin Ganbaatar,1970年7月30日-),蒙古族,蒙古国政治人物。赛音呼·钢巴特尔曾在英国伦敦读书,靠打工
  • 李保 (成汉)李保,中国五胡十六国时代成汉皇帝李雄的儿子,李期的弟弟。334年,他父亲李雄死后,李雄的侄子太子李班是继位。李保的哥哥李越杀死李班,拥立李期为皇帝,李期封李越为相国、建宁王,授
  • 宁汉合流宁汉合流是指1927年武汉国民政府撤销,与南京国民政府合并的历史事件。1925年7月1日,广州国民政府成立。随着国民政府的国民革命军北伐战争的推进,1927年2月21日,国民政府从广州
  • 跟我回家 (微电影)跟我回家是方糖娱乐和百里屠伕工作室联合出品,2017年至2018年间于方糖娱乐APP播放的音乐微电影,由百里屠伕执导,宫大虎、百里屠伕、宽粉、禾小斗领衔主演。《跟我回家》改编自