五次方程

五次方程是一种最高次数为五次的多项式方程。本条目专指只含一个未知数的五次方程（一元五次方程），即方程形如

其中，、、、、和为复数域内的数，且不为零。例如：

寻找五次方程的解一直是个重要的数学问题。一次方程和二次方程很早就找到了公式解，经过数学家们的努力，后来三次方程及四次方程也有了解答，但是之后很长的一段时间里没有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下，解五次方程显得格外的困难。

后来，保罗·鲁菲尼（英语：Paolo Ruffini）和尼尔斯·阿贝尔证明了一般的五次方程，不存在统一的根式解（即由方程的系数通过有限次的四则运算及根号组合而成的公式解）。认为一般的五次方程没有公式解存在的看法其实是不正确的。事实上，利用一些超越函数，如Θ函数或戴德金η函数即可构造出五次方程的公式解。另外，若只需求得数值解，可以利用数值方法（如牛顿法）得到相当理想的解答。

证明一般五次以上的方程无根式解的人是埃瓦里斯特·伽罗瓦，他巧妙地利用群论处理了上述的问题。

对于一般的五次方程

可以借由以下的转换

得到一个${\displaystyle y}$的五次多项式，上述的转换称为契尔恩豪森转换（英语：Tschirnhaus transformation）（Tschirnhaus transformation），借由特别选择的系数${\displaystyle b_i}$，可以使${\displaystyle y^4}$,${\displaystyle y^3}$,${\displaystyle y^2}$ 的系数为${\displaystyle 0}$，从而得到如下的方程：

以上的化简方法是由厄兰·塞缪尔·布灵（英语：Erland Samuel Bring）所发现，后来乔治·杰拉德（英语：George Jerrard）也独立发现了此法，因此上式称为布灵·杰拉德正规式（Bring-Jerrard normal form）。 其步骤如下： 首先令

可消去四次方项，得到

其中，

接下来，令${\displaystyle z=y^2+py+q}$， 得到

再令${\displaystyle P=Q=0}$， 求得

第三步，利用契尔恩豪森想到的方法，令：

代入

得到

再令${\displaystyle R=S=T=0}$， 则得${\displaystyle b_4=\frac{3A{b}_1+4B}{5}}$， 若令${\displaystyle b_2=-<!--\; -\; -->\frac{4B{b}_1+5C}{3A}}$， 则${\displaystyle b_1}$，${\displaystyle b_3}$可由以下两个方程解得：

若以函数的观点来看，方程

的解有两个自变量 ${\displaystyle U}$, 和 ${\displaystyle V}$。

若再令

则方程可以进一步化简为如下形式：

它的解 ${\displaystyle \mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ 是单一变量 ${\displaystyle t}$ 的函数。

虽然一般的五次方程不存在根式解，但是对于某些特殊的五次方程，满足某些条件后还是有根式解的。

其中