里斯表示定理

在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（英语：Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。

这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。

设 ${\displaystyle H}$) = φ。

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷（Gray）在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算 ${\displaystyle A}$) 上的正线性泛函，紧支集连续复值函数空间。下面所说的波莱尔集表示由开集生成的 σ-代数。

局部紧豪斯多夫空间 上一个非负可数可加波莱尔测度 μ 是正规的当且仅当

成立只要 是开集和 是波莱尔集且 μ(E) < ∞。

定理：设 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C_c() 上任何正线性泛函 ψ，在 上存在惟一的波莱尔正则测度 μ 使得

对所有 ∈ C_c()。

进入测度论的一个途径是从拉东测度开始，定义为 C() 上一个正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设 首先是一个拓扑空间，而不仅是一个集合。对局部紧空间，重新得到了一个积分理论。

下面定理也称为里斯-马尔可夫定理，给出了 C₀() 的对偶空间的一个具体实现， 上在无穷远趋于零的连续函数。定理陈述中的波莱尔集合同样指由开集生成的 σ-代数。结论与上一节类似，但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。

如果 μ 是一个复值可数可加波莱尔测度，μ 是正则的当且仅当非负可数可加测度 |μ| 正则（上一节所定义的）。

定理：设 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C₀ 上任何连续线性泛函 ψ，存在 上惟一正则可数可加波莱尔测度 μ 使得

对所有 ∈ C₀()。ψ 的范数作为线性泛函是 μ 的全变差（英语：total variation），即

最后，ψ 是正的当且仅当测度 μ 是非负的。

注：C_c() 上任何有界线性泛函惟一延拓为 C₀() 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 C_c() 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C₀() 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。