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旋转曲面
✍ dations ◷ 2025-09-06 20:27:09 #旋转曲面
旋转曲面是一个平面曲线绕着一条直线（旋转轴）旋转所得到的曲面。例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。如果曲线由参数方程
x
(
t
)
{displaystyle x(t)}
、
y
(
t
)
{displaystyle y(t)}
给出，其中
a
<
t
<
b
{displaystyle a<t<b}
，且旋转轴是
y
{displaystyle y}
轴，则旋转曲面
A
{displaystyle A}
的面积由以下的积分给出：条件是
x
(
t
)
{displaystyle x(t)}
非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。
2
π
x
(
t
)
{displaystyle 2pi x(t)}
是这一小段的（重心的）路径。如果曲线的方程是y = f(x)，a ≤ x ≤ b，则积分变为：这可以由以上的公式推出。例如，单位半径的球面由曲线x(t) = sin(t)，y(t) = cos(t)旋转而得，其中
0
<
t
<
π
{displaystyle 0<t<pi }
。所以，它的面积为：对于半径为r的圆
y
(
x
)
=
r
2
−
x
2
{displaystyle y(x)={sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
绕着x轴旋转所得的曲面，
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