旋转曲面

旋转曲面是一个平面曲线绕着一条直线（旋转轴）旋转所得到的曲面。例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。如果曲线由参数方程 x ( t ) {displaystyle x(t)} 、 y ( t ) {displaystyle y(t)} 给出，其中 a < t < b {displaystyle a<t<b} ，且旋转轴是 y {displaystyle y} 轴，则旋转曲面 A {displaystyle A} 的面积由以下的积分给出：条件是 x ( t ) {displaystyle x(t)} 非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。 2 π x ( t ) {displaystyle 2pi x(t)} 是这一小段的（重心的）路径。如果曲线的方程是y = f(x)，a ≤ x ≤ b，则积分变为：这可以由以上的公式推出。例如，单位半径的球面由曲线x(t) = sin(t)，y(t) = cos(t)旋转而得，其中 0 < t < π {displaystyle 0<t<pi } 。所以，它的面积为：对于半径为r的圆 y ( x ) = r 2 − x 2 {displaystyle y(x)={sqrt {r^{2}-x^{2}}}} 绕着x轴旋转所得的曲面，