遍历理论

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:21:43 #统计学,概率论,遍历理论

遍历理论（英语：Ergodic theory）是研究具有不变测度（英语：Invariant measure）的动力系统及其相关问题的一个数学分支。遍历理论研究遍历变换，由试图证明统计物理中的遍历假设（英语：Ergodic hypothesis）而来。

概率空间上的一个保测变换称为遍历的，如果在下不变的可测集的测度必为0或1。这个性质的一个旧术语是的。

考虑适定的函数的时间平均。这定义为从某个初始点开始的时间间隔的取值的平均。

再考虑的空间平均和相位平均，定义为

其中μ是概率空间的测度。

一般来说，时间平均和空间平均可能不同。但是若变换是遍历的，而该测度不变，则时间均值和空间均值几乎处处相等。这就是著名的遍历定理，其抽象形式由乔治·戴维·伯克霍夫给出。平均分布定理是遍历定理的一个特殊情况，专门处理单位间隔上的概率分布。

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