遍历理论

✍ dations ◷ 2025-06-30 16:16:51 #统计学,概率论,遍历理论

遍历理论(英语:Ergodic theory)是研究具有不变测度(英语:Invariant measure)的动力系统及其相关问题的一个数学分支。遍历理论研究遍历变换,由试图证明统计物理中的遍历假设(英语:Ergodic hypothesis)而来。

概率空间上的一个保测变换 称为遍历的,如果在 下不变的可测集的测度必为0或1。这个性质的一个旧术语是的。

考虑适定的函数的时间平均。这定义为从某个初始点开始的时间间隔的取值的平均。

再考虑的空间平均和相位平均,定义为

其中μ是概率空间的测度。

一般来说,时间平均和空间平均可能不同。但是若变换是遍历的,而该测度不变,则时间均值和空间均值几乎处处相等。这就是著名的遍历定理,其抽象形式由乔治·戴维·伯克霍夫给出。平均分布定理是遍历定理的一个特殊情况,专门处理单位间隔上的概率分布。

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