抛物线

抛物线是一种圆锥曲线。在一个平面内，抛物线的每一点Pi，其与一个固定点F之间的距离等于其与一条不经过此点F的固定直线L之间的距离。这固定点F叫做抛物线的“焦点”，固定直线L叫做抛物线的“准线”。抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线。在焦点上的点光源发出的光线，经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴。典型应用如手电筒。抛物线的标准方程有四个：y 2 = 2 p x ( p > 0 ) {displaystyle y^{2}=2pxquad left(p>0right)} （开口向右）； y 2 = − 2 p x ( p > 0 ) {displaystyle y^{2}=-2pxquad left(p>0right)} （开口向左）； x 2 = 2 p y ( p > 0 ) {displaystyle x^{2}=2pyquad left(p>0right)} （开口向上）； x 2 = − 2 p y ( p > 0 ) {displaystyle x^{2}=-2pyquad left(p>0right)} （开口向下）； （p为准焦距）焦点在 x 轴正半轴的抛物线参数方程为：抛物线上任意一点P ( x , y ) {displaystyle (x,y)} 至准线 a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} 之距离与P至焦点C ( C 1 , C 2 ) {displaystyle (C_{1},C_{2})} 的距离恒等 故得 ( x − C 1 ) 2 + ( y − C 2 ) 2 = | a x + b y + c | a 2 + b 2 {displaystyle {sqrt {(x-C_{1})^{2}+(y-C_{2})^{2}}}={frac {|ax+by+c|}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}抛物线的准线方程：将抛物线的方程化为标准形式：抛物线的方程： y 2 = 2 p x {displaystyle y^{2}=2px} ，焦点在x轴上 它的准线为： x = − 1 2 p {displaystyle x=-{frac {1}{2}}p}抛物线的方程： x 2 = 2 p y {displaystyle x^{2}=2py} ，焦点在y轴上 它的准线为： y = − 1 2 p {displaystyle y=-{frac {1}{2}}p}若抛物线方程为： ( y − k ) 2 = 4 c ( x − h ) {displaystyle (y-k)^{2}=4c(x-h)} ，则过此抛物线上一点 ( x 0 , y 0 ) {displaystyle (x_{0},y_{0})} 之切线方程为 ( y 0 − k ) ( y − k ) = 4 c ( x 0 − h ) + ( x − h ) 2 {displaystyle (y_{0}-k)(y-k)=4c{frac {(x_{0}-h)+(x-h)}{2}}} 若抛物线方程为： ( x − h ) 2 = 4 c ( y − k ) {displaystyle (x-h)^{2}=4c(y-k)} ，则过此抛物线上一点 ( x 0 , y 0 ) {displaystyle (x_{0},y_{0})} 之切线方程为 ( x 0 − h ) ( x − h ) = 4 c ( y 0 − k ) + ( y − k ) 2 {displaystyle (x_{0}-h)(x-h)=4c{frac {(y_{0}-k)+(y-k)}{2}}} x {displaystyle x} 改成 x 0 + x 2 {displaystyle {frac {x_{0}+x}{2}}} ，y 2 {displaystyle y^{2}} 改成 y 0 ⋅ y {displaystyle y_{0}cdot y} ， y {displaystyle y} 改成 y 0 + y 2 {displaystyle {frac {y_{0}+y}{2}}} ，