无限深方形阱

✍ dations ◷ 2025-12-05 13:03:26 #基本物理概念,量子力学模型

在物理学里，无限深方形阱（infinite square potential），又称为无限深位势阱（infinite potential well），是一个阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子，永远地束缚于无限深位势阱内，无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题，称为无限深方形阱问题，又称为无限深位势阱问题，盒中粒子问题（particle in a box problem），是一个理论问题。假若，阱内只有一个粒子，则称为单粒子无限深方形阱问题。假若，阱内有两个粒子，则称为双粒子无限深方形阱问题。假若，这两个粒子是完全相同的粒子，则问题又复杂许多，称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里，只讨论单粒子无限深方形阱问题。

在经典力学里，应用牛顿运动定律，可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞，粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动，碰撞来，碰撞去，而速率始终保持不变。在任意时间，粒子在阱内各个位置的概率是均匀的。

在量子力学里，这问题突然变得很有意思。许多基要的概念，在这问题的解析中，呈现了出来。由于问题的理想化与简易化，应用薛定谔方程，可以很容易地，虽然并不是很直觉地，求得解答。满足这薛定谔方程的能量本征函数，是表达粒子量子态的波函数。每一个能量本征函数的能量，只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是，离散能级谱中最小的能级不是 0 ，而是一个有限值，称为零点能量！这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。

更加地，假若测量粒子的位置，则会发现粒子在阱内各个位置的概率大不相同。在有些位置，找到粒子的概率是 0 ，绝对找不到粒子。这些结果与经典力学的答案迥然不同。可是，这些结果所根据的原理，早已在许多精心设计的实验中，广泛地证明是正确无误的。

在量子力学里，无限深方形阱问题是一个简单化的，理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。在阱内，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移动于阱内。可是，阱壁是无限的高，粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简，先从一维问题开始，研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后，可推广至二维与三维空间。

这问题的薛定谔方程解答，明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合；可是，与经典力学的理论预测，有很大的冲突。特别令人注目地是，这量子行为是自然地从边界条件产生的，而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的。

无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括：

不论这问题有多么地简单，由于能够完全地解析其薛定谔方程，这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上，这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如，一个导电电子在一根直的，极细的奈米金属丝内的量子行为。更详细内容，请参阅条目奈米线。

一个粒子束缚于一维无限深方形阱内，阱宽为 $L {\displaystyle L}$ $L$ 。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（ $x {\displaystyle x}$ $x$ 方向）。如图示，一维无限深方形阱的本征函数 $\psi _{n}$ $\psi_n$ 与本征值 $E_{n}$ $E_n$ 分别为

其中， $n {\displaystyle n}$ $n$ 是正值的整数， $h {\displaystyle h}$ $h$ 是普朗克常数， $m {\displaystyle m}$ $m$ 是粒子质量。

一维不含时薛定谔方程可以表达为

其中， $\psi (x)$ $\psi (x)$ 是复值的、不含时间的波函数， $V(x)$ $V(x)$ 是跟位置有关的位势， $E {\displaystyle E}$ $E$ 是正值的能量。

在阱内，位势 $V(x)=0$ $V(x)= 0$ 。一维不含时薛定谔方程约化为

这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 $\psi (x)$ $\psi (x)$ 与本征值 $E {\displaystyle E}$ $E$ 是

其中， $A {\displaystyle A}$ $A$ 与 $B {\displaystyle B}$ $B$ 是常数，可以是复值， $k {\displaystyle k}$ $k$ 是实值的波数（因为 $E {\displaystyle E}$ $E$ 是正值的，所以， $k {\displaystyle k}$ $k$ 必须是实数。）。

为了求得一般解 $\psi (x)$ $\psi (x)$ 的常数 $A {\displaystyle A}$ $A$ ， $B {\displaystyle B}$ $B$ ，与波数 $k {\displaystyle k}$ $k$ 的值，必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的概率 $\left|\psi (x)\right|^{2}$ $\left| \psi(x)\right|^2$ 越小。在 $x=0$ $x=0$ ， $x=L$ $x=L$ 两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的概率是微乎其微： $\left|\psi (x)\right|^{2}=0$ $\left| \psi(x)\right|^2=0$ 。所以，边界条件是

代入方程 (3a) 。在 $x=0$ $x=0$ ，可以得到

在 $x=L$ $x=L$ ，可以得到

方程 (6) 的一个简易解是 $A=0$ $A=0$ 。可是，这样，波函数是 $\psi =0$ $\psi = 0$ 。这意味着一个不可能的物理答案：粒子不在阱内！所以，不能接受这简易解。设定 $A\neq 0$ $A\neq 0$ ，则 $\sin(kL)=0$ $\sin(kL) = 0$ 。那么，必须要求

其中，整数 $n>0$ $n>0$ 。

注意到 $n=0$ $n = 0$ 状况必须被排除，因为，不能容许波函数是 $\psi =0$ $\psi = 0$ 的物理答案：粒子不在阱内！

为了求得 $A {\displaystyle A}$ $A$ 值，波函数需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：

常数 $A {\displaystyle A}$ $A$ 的值为

常数 $A {\displaystyle A}$ $A$ 可以是任何复数，只要绝对值等于 ${\sqrt {\frac {2}{L}}}$ $\sqrt{\frac{2}{L}}$ ；可是，这些不同值的 $A {\displaystyle A}$ $A$ 都对应于同样的物理状态。所以，为了方便计算，选择 $A={\sqrt {\frac {2}{L}}}$ $A=\sqrt{\frac{2}{L}}$ 。

最后，将方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值（能级）是

能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想，两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着，阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍：

其中， $\lambda$ $\lambda$ 是波长， $n {\displaystyle n}$ $n$ 是正值的整数。

应用德布罗意假说，粒子的动量 $p {\displaystyle p}$ $p$ 是

代入联系能量与动量的经典公式，则可以得到系统的能量本征值。

一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在 $x {\displaystyle x}$ $x$ 与 $y {\displaystyle y}$ $y$ 方向，分别为 $L_{x}$ $L_{x}$ ， $L_{y}$ $L_{y}$ 。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（ $x {\displaystyle x}$ $x$ 与 $y {\displaystyle y}$ $y$ 方向）。二维无限深方形阱的本征函数 $\psi _{n_{x},n_{y}}$ $\psi_{n_x,n_y}$ 与本征值 $E_{n_{x},n_{y}}$ $E_{n_x,n_y}$ 分别为

其中， $n_{x}$ $n_x$ 与 $n_{y}$ $n_y$ 是正值的整数。

在这二维的问题里，粒子束缚于一个二维位势阱内，在阱内，二维的解答方程与方程 (2) 类似，是一个二阶偏微分方程：

应用分离变数法。首先，假设 $\psi (x,\ y)$ $\psi(x,\ y)$ 是两个不相关的函数 $X(x)$ $X(x)$ 与 $Y(y)$ $Y(y)$ 的乘积， $X(x)$ $X(x)$ 只含有变数 $x {\displaystyle x}$ $x$ ， $Y(y)$ $Y(y)$ 只含有变数 $y {\displaystyle y}$ $y$ ：

将 $\psi (x,\ y)$ $\psi(x,\ y)$ 的假设方程代入二维方程，则可得到

将这方程两边都除以 $X Y {\displaystyle XY}$ $XY$ ，则可得到

由于方程左边圆括号内的两个项目 ${\frac {X''}{X}}$ $\frac{X''}{X}$ 、 ${\frac {Y''}{Y}}$ $\frac{Y''}{Y}$ 分别只跟 $x {\displaystyle x}$ $x$ 、 $y {\displaystyle y}$ $y$ 有关，两个项目分别都必须等于常数：

其中， $E_{x}$ $E_x$ 与 $E_{y}$ $E_y$ 都是常数， $E_{x}+E_{y}=E$ $E_x+E_y=E$ 。

这样，可以得到两个约化的一维薛定谔方程：

前面，已经解析了同样形式的一维薛定谔方程（方程 (2) ）。将那里的答案移接到这里，

其中，整数 $n_{x}=1,\ 2,\ 3,\ \dots$ $n_x=1,\ 2,\ 3,\ \dots$ ， $n_{y}=1,\ 2,\ 3,\ \dots$ $n_y=1,\ 2,\ 3,\ \dots$ 。

将两个方程合并，可以得到解答：

同样地，应用分离变数法于三维阱问题，可以得到能量本征函数与能量本征值：

其中， $n_{i}=1,\ 2,\ 3,\ \ldots$ $n_i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots$ 。

当两个以上的阱宽相等的时候，对应于同样的总能量，会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并，是由物理系统的对称性造成的。例如，假设一个三维阱的 $L_{x}=L_{y}$ $L_x=L_y$ ，则 $n_{x}=2$ $n_x=2$ ， $n_{y}=1$ $n_y=1$ ， $n_{z}=1$ $n_z=1$ 的波函数与 $n_{x}=1$ $n_x=1$ ， $n_{y}=2$ $n_y=2$ ， $n_{z}=1$ $n_z=1$ 的波函数，两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里，有两个阱宽相等，这物理系统对称于绕着 z-轴的 $90^{\circ }$ $90^{\circ}$ 旋转。