在软件工程领域，强度折减（Strength reduction）是一个编译器最佳化技术，它将昂贵的运算以相同但是相对便宜的运算取代，最经典的范例就是将乘法转换为使用循环的连续加法，这经常使用在阵列的定址。（Cooper，Simpson & Vick 1995，p.1）
强度折减的范例包含：
大部分程式的执行时间通常都是花费在一些相当小的程式段，这些程式段通常都在循环之内不断的执行。
编译器使用一些方法来辨识循环以及循环内暂存器数值的特点，编译器可利用强度折减来辨识：
循环不变式本质上在循环内是个常数，但他们的数值可能在循环外会改变。归纳变数则是会被改变一个已知的量。而在巢状回圈的情况之下，一个归纳变数在循环外的循环内也可以是一个归纳变数。
强度折减会找寻涉及循环不变式以及归纳变数，有些可以被简化，举例来说，循环不变式c及归纳变数i的乘法：
c = 8;for (i = 0; i < N; i++) { y = c * i; }可以被加法所取代
c = 8;k = 0;for (i = 0; i < N; i++) { y = k; k = k + c; }以下是一个使用强度折减范例，他会减少所有出现在计算阵列索引位置的循环乘法
想像一个简单的循环，它设定一个阵列给一个已知的矩阵
for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) { A = 0.0; } A = 1.0; }编译器将会视这段程式码为
0010 // for (i = 0, i < n; i++)0020 {0030 r1 = #0 // i = 00040 G0000:0050 load r2, n // i < n0060 cmp r1, r20070 bge G00010080 0090 // for (j = 0; j < n; j++)0100 {0110 r3 = #0 // j = 00120 G0002:0130 load r4, n // j < n0140 cmp r3, r40150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0180 load r7, n0190 r8 = r1 * r7 // 計算元素 i * n + j0200 r9 = r8 + r30210 r10 = r9 * #8 // 計算實際位置0220 fr3 = #0.00230 fstore fr3, A0240 0250 r3 = r3 + #1 // j++0260 br G00020270 }0280 G0003:0290 // A = 1.0;0300 load r12, n // 計算元素 i * n + i0310 r13 = r1 * r12 0320 r14 = r13 + r10330 r15 = r14 * #8 // 計算實際位置0340 fr4 = #1.00350 fstore fr4, A0360 0370 //i++0380 r1 = r1 + #10390 br G00000400 }0410 G0001:编译器将会开始进行最佳化（并不只有强度折减），循环内的常数（不变式）将会被放到循环外面（Loop-invariant code motion），常数可以在循环外面载入，例如浮点数暂存器 fr3 及 fr4。接着辨识出不会改变的变数，例如常数N，这使得一些暂存器在循环内允许被合并，所以r2、r4、r7、r12可以被合并移置循环外或是消除。r8及r13同时有着相同的运算 i*n ，所以他们也可以被合并，最内层的循环（0120-0260）已经从11道指令减少为7道指令，为一个还留在最内层循环的乘法为0210行的乘法运算。
0010 // for (i = 0, i < n; i++)0020 {0030 r1 = #0 // i = 00050 load r2, n0130 // load r4, n 移除，使用 r20180 // load r7, n 移除，使用 r20300 // load r12, n 移除，使用 r20220 fr3 = #0.00340 fr4 = #1.00040 G0000:0060 cmp r1, r2 // i < n0070 bge G00010080 0190 r8 = r1 * r2 // 計算元素 i * n0310 // r13 = r1 * r2 移除，使用 r8 // 計算元素 i * n0090 // for (j = 0; j < n; j++)0100 {0110 r3 = #0 // j = 00120 G0002:0140 cmp r3, r2 // j < n0150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0200 r9 = r8 + r3 // 計算元素 i * n + j0210 r10 = r9 * #8 // 計算實際位置0230 fstore fr3, A0240 0250 r3 = r3 + #1 // j++0260 br G00020270 }0280 G0003:0290 // A = 1.0;0320 r14 = r8 + r1 // 計算元素 i * n + i0330 r15 = r14 * #8 // 計算實際位置0350 fstore fr4, A0360 0370 //i++0380 r1 = r1 + #10390 br G00000400 }0410 G0001:还有更多的最佳化要进行，暂存器r3在最内层的循环是一个主要的变数，它每次循环进行都会加1，暂存器r8（在最内层循环是不变式）会与r3家在一起。编译器则是可以消除r3而使用r9，可以使用 r9=r8+0 to r8+n-1来取代控制循环的r3 = 0 to n-1，这样将会增加四个指令，并且移除四个指令，但是在内层循环的指令将会更少：
0110 // r3 = #0 移除 // j = 00115 r9 = r8 // 新的賦值0117 r20 = r8 + r2 // 新的限制0120 G0002:0140 // cmp r3, r2 移除 // j < n0145 cmp r9, r20 // r8 + j < r8 + n = r200150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0200 // r9 = r8 + r3 移除 // 計算元素 i * n + j0210 r10 = r9 * #8 // 計算實際位置0230 fstore fr3, A0240 0250 // r3 = r3 + #1 移除 // j++0255 r9 = r9 + #1 // new loop variable0260 br G0002
现在r9是一个循环变数，但他的行为是与8相乘，这里我们可以进行一些强度折减，与8相成的行为可以被折减为连续的增加8次，那么我们在循环内就没有乘法运算：
0115 r9 = r8 // 新的賦值0117 r20 = r8 + r2 // 新的限制0118 r10 = r8 * #8 // r10的初始值0120 G0002:0145 cmp r9, r20 // r8 + j < r8 + n = r200150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0210 // r10 = r9 * #8 移除 // 計算實際位置0230 fstore fr3, A0240 0245 r10 = r10 + #8 // 利用強度折減取代乘法0255 r9 = r9 + #1 // 迴圈變數0260 br G0002
暂存器 r9 及 r10 （= 8*r9）并非同时需要，r9在循环内可以被消除，现在循环为五个指令
0115 // r9 = r8 移除0117 r20 = r8 + r2 // 限制0118 r10 = r8 * #8 // r10的初始值0119 r22 = r20 * #8 // 新的限制0120 G0002:0145 // cmp r9, r20 移除 // r8 + j < r8 + n = r200147 cmp r10, r22 // r10 = 8*(r8 + j) < 8*(r8 + n) = r220150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0230 fstore fr3, A0240 0245 r10 = r10 + #8 // 利用強度折減取代乘法0255 // r9 = r9 + #1 移除 // 迴圈變數0260 br G0002
回到完整的程式:
0010 // for (i = 0, i < n; i++)0020 {0030 r1 = #0 // i = 00050 load r2, n0220 fr3 = #0.00340 fr4 = #1.00040 G0000:0060 cmp r1, r2 // i < n0070 bge G00010080 0190 r8 = r1 * r2 // 計算元素 i * n0117 r20 = r8 + r2 // 限制0118 r10 = r8 * #8 // r10的初始值0119 r22 = r20 * #8 // 限制0090 // for (j = 0; j < n; j++)0100 {0120 G0002:0147 cmp r10, r22 // r10 = 8*(r8 + j) < 8*(r8 + n) = r220150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0230 fstore fr3, A0240 0245 r10 = r10 + #8 // 利用強度折減取代乘法0260 br G00020270 }0280 G0003:0290 // A = 1.0;0320 r14 = r8 + r1 // 計算元素 i * n + i0330 r15 = r14 * #8 // 計算實際位置0350 fstore fr4, A0360 0370 //i++0380 r1 = r1 + #10390 br G00000400 }0410 G0001:现在有四个乘法在外层的循环，并且使用到会递增的r1，在0190行的 r8 = r1*r2 可以被强度折减，我们可以在进入循环之前（0055）就设置他，并且在循环的最底部进行与r2的运算（0385）。
数值 r8*8 （在0118）可以被强度折减，借由将它初始化（0056）及当r8增加时（0386）才加上 8*r2。
在0117，循环内的暂存器 r20 可以会加上一个常数（或是不变式）r2 ，在加上之后，在0119行会与8相乘，并且建立一个r22来储存它。乘法运算可以借由在循环内增加 8*r2 来进行强度折减。
0010 // for (i = 0, i < n; i++)0020 {0030 r1 = #0 // i = 00050 load r2, n0220 fr3 = #0.00340 fr4 = #1.00055 r8 = r1 * r2 // 設置 r8 的初始值0056 r40 = r8 * #8 // 設置初始值為 r8 * 80057 r30 = r2 * #8 // 為了 r40 而增加0058 r20 = r8 + r2 // 從 0117 複製過來0058 r22 = r20 * #8 // r22的初始值0040 G0000:0060 cmp r1, r2 // i < n0070 bge G00010080 0190 // r8 = r1 * r2 移除 // 計算元素 i * n0117 // r20 = r8 + r2 移除 - 無用的程式碼0118 r10 = r40 // 強度折減： expression to r400119 // r22 = r20 * #8 移除 // 強度折減0090 // for (j = 0; j < n; j++)0100 {0120 G0002:0147 cmp r10, r22 // r10 = 8*(r8 + j) < 8*(r8 + n) = r220150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0230 fstore fr3, A0240 0245 r10 = r10 + #8 // 利用強度折減取代乘法0260 br G00020270 }0280 G0003:0290 // A = 1.0;0320 r14 = r8 + r1 // 計算元素 i * n + i0330 r15 = r14 * #8 // 計算實際位置0350 fstore fr4, A03600370 //i++0380 r1 = r1 + #10385 r8 = r8 + r2 // 強度折減： r8 = r1 * r20386 r40 = r40 + r30 // 強度折減： 消除運算式 r8 * 80388 r22 = r22 + r30 // 強度折減： r22 = r20 * 8 0390 br G00000400 }0410 G0001:最后留在两个循环内的，仅剩下一个乘法运算（0330行）在外层的循环，而在内的循环则已经没有任何的层法运算：
0010 // for (i = 0, i < n; i++)0020 {0030 r1 = #0 // i = 00050 load r2, n0220 fr3 = #0.00340 fr4 = #1.00055 r8 = r1 * r2 // 設置 r8 的初始值0056 r40 = r8 * #8 // 將初始值設定為 r8 * 80057 r30 = r2 * #8 // 為了 r40 而增加0058 r20 = r8 + r2 // 從 0117 複製過來0058 r22 = r20 * #8 // 設置 r22 的初始值0040 G0000:0060 cmp r1, r2 // i < n0070 bge G00010080 0118 r10 = r40 // 強度折減： expression to r400090 // for (j = 0; j < n; j++)0100 {0120 G0002:0147 cmp r10, r22 // r10 = 8*(r8 + j) < 8*(r8 + n) = r220150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0230 fstore fr3, A0240 0245 r10 = r10 + #8 // 用強度折減消除乘法0260 br G00020270 }0280 G0003:0290 // A = 1.0;0320 r14 = r8 + r1 // 計算元素 i * n + i0330 r15 = r14 * #8 // 計算元素位置0350 fstore fr4, A03600370 //i++0380 r1 = r1 + #10385 r8 = r8 + r2 // 強度折減： r8 = r1 * r20386 r40 = r40 + r30 // 強度折減：消除運算式 r8 * 80388 r22 = r22 + r30 // 強度折減： r22 = r20 * 8 0390 br G00000400 }0410 G0001:在0320行，r14是r8及r1的总和，而r8及r1在循环内将被增加，暂存器r8则与r2 (=n)相加，而r1则与1相机。所以，r14则借由每次在循环内与n+1相加，最后一个循环乘法在0330行，可以借由增加 (r2+1)*8 来进行强度折减。
0010 // for (i = 0, i < n; i++)0020 {0030 r1 = #0 // i = 00050 load r2, n0220 fr3 = #0.00340 fr4 = #1.00055 r8 = r1 * r2 // 設置 r8 的初始值0056 r40 = r8 * #8 // 將初始值設定為 r8 * 80057 r30 = r2 * #8 // 為了 r40 而增加0058 r20 = r8 + r2 // 從 0117 複製過來0058 r22 = r20 * #8 // 設置 r22 的初始值005A r14 = r8 + #1 // 從 0320 複製過來005B r15 = r14 * #8 // r15的初始值 (0330)005C r49 = r2 + 1005D r50 = r49 * #8 // 強度折減：increment0040 G0000:0060 cmp r1, r2 // i < n0070 bge G00010080 0118 r10 = r40 // 強度折減： expression to r400090 // for (j = 0; j < n; j++)0100 {0120 G0002:0147 cmp r10, r22 // r10 = 8*(r8 + j) < 8*(r8 + n) = r220150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0230 fstore fr3, A0240 0245 r10 = r10 + #8 // 用強度折減消除乘法0260 br G00020270 }0280 G0003:0290 // A = 1.0;0320 // r14 = r8 + r1 移除 // 無用的程式碼0330 // r15 = r14 * #8 移除 // 強度折減0350 fstore fr4, A03600370 //i++0380 r1 = r1 + #10385 r8 = r8 + r2 // 強度折減： r8 = r1 * r20386 r40 = r40 + r30 // 強度折減： 消除運算式 r8 * 80388 r22 = r22 + r30 // 強度折減： r22 = r20 * 80389 r15 = r15 + r50 // 強度折減： r15 = r14 * 8 0390 br G00000400 }0410 G0001:但是仍然还有一些工作要做，一开始常数折叠将会辨识出 r1=0 ，许多指令将会被清除，暂存器 r8 并不会在循环内被使用，所以他也可以消失
接着，r1只会被使用在控制循环，所以r1可以被许多归纳变数取代，像是r40。当i为0 <= i < n，则暂存器r40则变成 0 <= r40 < 8 * n * n。
0010 // for (i = 0, i < n; i++)0020 {0030 // r1 = #0 // i = 0, 變成無用程式碼0050 load r2, n0220 fr3 = #0.00340 fr4 = #1.00055 // r8 = #0 移除 // r8 不再被使用0056 r40 = #0 // r8 * 8的初始值0057 r30 = r2 * #8 // 為了 r40 增加0058 // r20 = r2 移除 // r8 = 0, 變成無用程式碼0058 r22 = r2 * #8 // r20 = r2005A // r14 = #1 移除 // r8 = 0, 變成無用程式碼005B r15 = #8 // r14 = 1005C r49 = r2 + 1005D r50 = r49 * #8 // 強度折減： increment005D r60 = r2 * r30 // r40新的限制0040 G0000:0060 // cmp r1, r2 移除 // i < n; 歸納變數取代0065 cmp r40, r60 // i * 8 * n < 8 * n * n0070 bge G00010080 0118 r10 = r40 // 強度折減： expression to r400090 // for (j = 0; j < n; j++)0100 {0120 G0002:0147 cmp r10, r22 // r10 = 8*(r8 + j) < 8*(r8 + n) = r220150 bge G00030160 0170 // A = 0.0;0230 fstore fr3, A0240 0245 r10 = r10 + #8 // 用強度折減消除乘法0260 br G00020270 }0280 G0003:0290 // A = 1.0;0350 fstore fr4, A03600370 //i++0380 // r1 = r1 + #1 移除 // 無用的程式碼 (r40 控制了迴圈)0385 // r8 = r8 + r2 移除 // 無用的程式碼0386 r40 = r40 + r30 // 強度折減： expression r8 * 80388 r22 = r22 + r30 // 強度折減： r22 = r20 * 80389 r15 = r15 + r50 // 強度折減： r15 = r14 * 8 0390 br G00000400 }0410 G0001:强度折减运算子（Operator strength reduction）使用数学的方法，以更快的运算子取代了缓慢的数学操作，这个优势将会根据目标CPU以及一些程式（不同的CPU有着不同的可用功能）而有所不同。
归纳变数（Induction variable）或是递回强度折减利用简单运算取代了一个函数内有系统化的来改变变数，这个运算使用了函数之前的数值。在程序编程，这将会涉及到一个包含循环变数的运算式，在宣告式编程，这将会影响到递归 (计算机科学)的参数，举例来说：
f x = ... (2 ** x) ... (f (x + 1)) ...
会变成
f x = f' x 1where f' x z = ... z ... (f' (x + 1) (2 * z)) ...
昂贵的运算 (2 ** x) 已经被递回函式中相对便宜的 (2 * x) 所取代。
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