超越方程

✍ dations ◷ 2025-06-08 15:20:22 #方程

超越方程（英语：transcendental equation）是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解无法利用代数几何来进行。大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解。

以下的方程分别因为有指数函数、三角函数等超越函数，因此均为超越方程。

在天文学中，有关轨道偏近点角 $E {\displaystyle E}$ $E$ 的开普勒方程也是超越方程：

其中：

超越方程的求解可以利用绘图法及数值方法求解。若利用绘图法，可以分别令等式二边的式子等于另一变数（例如 $y {\displaystyle y}$ $y$ ），然后在二个图绘制在一起，二个图的交点即为超越方程的解。数值方法也是以此想法往下延伸，利用数学公式求得二个图交点的位置。

若是数值很小，或是已知解在某一数值附近，也可以用泰勒级数的方式来用多项式近似超越函数，因此超越方程可用代数方程近似，再针对代数方程求解。用牛顿法也可以求超越方程的数值解。

有些特殊的函数可用来表示超越方程的解。例如复变函数朗伯W函数就可以表示一些超越方程的解。以下的超越方程

其解为 $W(1)$ $W(1)$ ，近似值为 $0.56714329\dots$ $0.56714329\dots$ （欧米加常数）。

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