超越方程

✍ dations ◷ 2025-04-02 09:50:34 #方程

超越方程(英语:transcendental equation)是包含超越函数的方程,也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数,与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解无法利用代数几何来进行。大部分的超越方程求解没有一般的公式,也很难求得解析解。

以下的方程分别因为有指数函数、三角函数等超越函数,因此均为超越方程。

在天文学中,有关轨道偏近点角 E {\displaystyle E} 的开普勒方程也是超越方程:

其中:

超越方程的求解可以利用绘图法及数值方法求解。若利用绘图法,可以分别令等式二边的式子等于另一变数(例如 y {\displaystyle y} ),然后在二个图绘制在一起,二个图的交点即为超越方程的解。数值方法也是以此想法往下延伸,利用数学公式求得二个图交点的位置。

若是数值很小,或是已知解在某一数值附近,也可以用泰勒级数的方式来用多项式近似超越函数,因此超越方程可用代数方程近似,再针对代数方程求解。用牛顿法也可以求超越方程的数值解。

有些特殊的函数可用来表示超越方程的解。例如复变函数朗伯W函数就可以表示一些超越方程的解。以下的超越方程

其解为 W ( 1 ) {\displaystyle W(1)} ,近似值为 0.56714329 {\displaystyle 0.56714329\dots } (欧米加常数)。

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