倒数

数学上，一个数 x {displaystyle x} 的倒数（reciprocal），或称乘法逆元（multiplicative inverse），是指一个与 x {displaystyle x} 相乘的积为1的数，记为 1 x {displaystyle {tfrac {1}{x}}} 或 x − 1 {displaystyle x^{-1}} 。在抽象代数中，倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”，也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。注意这个名词只当相应的群中的运算被称为“乘法”后才使用。如果群中的运算被称为“加法”，那么同样的概念称为“加法逆”。乘法逆的具体定义可以参见群的逆元素概念。汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都存在倒数：只要用某个数自身除1（也就是说用1除以某个数），即可得到它的倒数。用数学记号表示的话：每个复数（实数）只有一个倒数。一般来说，并不是对所有的代数结构中的乘法运算，每个元素都存在其乘法逆，如对矩阵乘法来说，秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆，或者在环 Z 39 {displaystyle Z_{39}} 中，元素3和18也没有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元，而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子，或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。乘积为-1的两个实数互为负倒数，实数x的负倒数记为 − 1 x {displaystyle -{frac {1}{x}}} 或 − x − 1 {displaystyle -x^{-1}} 。一个实数的倒数和其负倒数是相反数，0没有倒数或负倒数。