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马尔可夫不等式

✍ dations ◷ 2025-08-13 18:59:49 #数学题材作品,概率论,概率不等式

在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数大于等于某正数的概率的上界。虽然它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，但该不等式曾出现在一些更早的文献中，其中包括马尔可夫的老师--巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫。

马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界。

马尔可夫不等式的一个应用是，不超过1/5的人口会有超过5倍于人均收入的收入。

X为一非负随机变量，则

若用测度领域的术语来表示，马尔可夫不等式可表示为若(, Σ, )是一个测度空间，为可测的扩展实数的函数，且 $\epsilon \geq 0$ ≥ 0，且() > 0，则

切比雪夫不等式使用变异数来作为一随机变数超过平均值几率的上限，可以用下式表示：

对任意，Var(X)为X的变异数，定义如下：

若以马尔可夫不等式为基础，切比雪夫不等式可视为考虑以下随机变量

根据马尔可夫不等式，可得到以下的结果

令 $M\succeq 0$ $M\succeq 0$ 为自共轭矩阵形式的随机变数，且 $a>0$ $a>0$ ，则

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