线性无关

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在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

假设是在域上的向量空间。如果₁, ₂, ..., 是的向量，称它们为，如果从域K 中有非全零的元素₁, ₂, ..., ，使得

或更简略地表示成，

（注意右边的零是的零向量，不是的零元。）

如果中不存在这样的元素，那么₁, ₂, ..., 是。

对可以给出更直接的定义。向量₁, ₂, ..., ，当且仅当它们满足以下条件：如果₁, ₂, ..., 是的元素，适合：

那么对所有 = 1, 2, ..., 都有 = 0。

在中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。

设 = R，考虑内的以下元素：

则e₁、e₂、……、e_n是线性无关的。

假设₁、₂、……、是R中的元素，使得：

由于

因此对于{1, ..., }内的所有，都有 = 0。

设是实变量的所有函数的向量空间。则内的函数和2是线性无关的。

假设和是两个实数，使得对于所有的，都有：

我们需要证明 = 0且 = 0。我们把等式两边除以（它不能是零），得：

也就是说，函数与一定是独立的，这只能在 = 0时出现。可推出也一定是零。

R4内的以下向量是线性相关的。

我们需要求出标量${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1}$、${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2}$和${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_3}$，使得：

可以形成以下的方程组：

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。