线性无关

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:06:14 #线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 数量积 · 向量积

矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 ·

线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 ·

在线性代数里,向量空间的一组元素中,若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示,则称为线性无关或线性独立(linearly independent),反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。

假设是在域上的向量空间。如果1, 2, ..., 是的向量,称它们为,如果从域K 中有非全零的元素1, 2, ..., ,使得

或更简略地表示成,

(注意右边的零是的零向量,不是的零元。)

如果中不存在这样的元素,那么1, 2, ..., 是。

对可以给出更直接的定义。向量1, 2, ..., ,当且仅当它们满足以下条件:如果1, 2, ..., 是的元素,适合:

那么对所有 = 1, 2, ..., 都有 = 0。

在中的一个无限集,如果它任何一个有限子集都是线性无关,那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念,因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间,而这组向量则是这向量空间的基。

设 = R,考虑内的以下元素:

则e1、e2、……、en是线性无关的。

假设12、……、是R中的元素,使得:

由于

因此对于{1, ..., }内的所有,都有 = 0。

设是实变量的所有函数的向量空间。则内的函数和2是线性无关的。

假设和是两个实数,使得对于所有的,都有:

我们需要证明 = 0且 = 0。我们把等式两边除以(它不能是零),得:

也就是说,函数与一定是独立的,这只能在 = 0时出现。可推出也一定是零。

R4内的以下向量是线性相关的。

我们需要求出标量 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} λ 3 {\displaystyle \lambda _{3}} ,使得:

可以形成以下的方程组:

解这个方程组(例如使用高斯消元法),可得:

由于它们都是非平凡解,因此这些向量是线性相关的。

相关

  • 克洛德·德彪西阿希尔-克洛德·德彪西(法语:Achille-Claude Debussy,法语发音:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sans Un
  • 多尔多勒(法语:Dole)是法国汝拉省的一个市镇,位于该省北部,是该省人口最多的市镇,也是该省的一个副省会,下辖多勒区。该市镇总面积38.38平方公里,2009年时的人口为24906人。杜河(Le Doubs
  • 万博省万博省位于安哥拉中部,与本吉拉省、比耶省、南广萨省、威拉省等省份相邻。
  • B型流感嗜血菌流感嗜血杆菌(学名:Haemophilus influenzae),简称嗜血杆菌,前称费佛氏杆菌(或译拜菲尔氏菌)或流感杆菌,是一种没有运动力的革兰氏阴性杆菌。它是于1892年由费佛(英语:Richard Friedric
  • 壬酸壬酸,结构式CH3(CH2)7COOH。纯品为无色微有特殊气味的油状液体,工业品常呈淡黄色。有腐蚀性。不溶于水,溶于乙醇、乙醚和氯仿。1、由油酸被硝酸或臭氧氧化而得。2、1-辛烯与合
  • 疯癫与文明《疯癫与文明》(Folie et deraison),台湾普遍译作《瘋癲與文明》,浙江人民出版社译作《癫狂与文明》,是米歇尔·福柯的博士论文,也是他的成名作,于1961年出版。该书共分9章,讨论了历
  • 罗贝坦王朝罗贝尔(罗伯特)王朝,或罗贝尔家族,是统治法兰西的家族的前身。早在公元八世纪,这个家族就在法兰克古王国奥斯特拉西亚的地域里突出—所辖区域与现比利时相近—之后迁到西法兰克王
  • 湖南2019冠状病毒病湖南省疫情,介绍2019冠状病毒病疫情中,在中华人民共和国湖南省发生的情况。2020年1月21日,国家卫健委确认湖南省长沙市出现首例输入性新型冠状病毒肺炎确诊病例
  • 建筑风格建筑风格,一般认为是一种区域性的或者国际性的建筑物的风格,是对某一建筑师、建筑学校或者历史时期建筑特色的描述。常见的最重要的建筑风格划分方法是根据地区及时代划分,并且
  • 随机游走随机游走(英语:Random Walk,缩写为 RW),是一种数学统计模型,它是一连串的轨迹所组成,其中每一次都是随机的。它能用来表示不规则的变动形式,如同一个人酒后乱步,所形成的随机过程记录