拉萨尔不变集原理

拉萨尔不变集原理（LaSalle's invariance principle）也称为不变集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉萨尔原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉萨尔原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非线性系统）李雅普诺夫稳定性的判断准则。

考虑以下方程式的系统

其中${\displaystyle \mathbf{x}}$为符合以下条件的变数向量

若可以找到${\displaystyle C^1}$ 函数 ${\displaystyle V(\mathbf{x})}$，使下式成立

则任何轨迹中聚点（accumulation point）的集合都在${\displaystyle \mathcal{I}}$内， ${\displaystyle \mathcal{I}}$是其完整轨迹完全在${\displaystyle \{\mathbf{x}:\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}(\mathbf{x})=0\}}$集合的联集。

若${\displaystyle V}$函数又有正定的性质，即

而且${\displaystyle \mathcal{I}}$除了${\displaystyle \mathbf{x}(t)=\mathbf{0}}$ for ${\displaystyle t\ge <!--\; \ge \; -->0}$的平凡轨迹外，未包括其他轨迹，则原点为李雅普诺夫稳定性。

再者，若${\displaystyle V}$是径向无界（radially unbounded）

原点为全域渐近稳定。

若

当${\displaystyle \mathbf{x}}$在原点的邻域${\displaystyle D}$内才成立，且集合

除了${\displaystyle \mathbf{x}(t)=\mathbf{0},t\ge <!--\; \ge \; -->0}$的轨迹外，不包括其他系统的轨迹，则依照拉萨尔不变集原理的局部稳定版本，原点有局部的渐近稳定性。

If ${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}(\mathbf{x})}$为负定，则原点的全域渐进稳定是李雅普诺夫第二定理的结果。若${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}(\mathbf{x})}$只是半负定，不变集原理也是判断渐近稳定性的准则。

此段落会用不变集原理来确立简单系统的区部渐近稳定性。此系统的微分方程如下：

其中${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$是单摆的角度，以垂直往下的角度为0度，${\displaystyle m}$是单摆的质量，${\displaystyle k}$是摩擦系数，g是因重力产生的加速度。

因此可以将系统方程式表示如下

利用不变集原理，可以证明一定大小的球体，若初始位置在原点附近${\displaystyle x_1=x_2=0}$，可以证明其所有的轨迹都会渐近收敛到原点。定义${\displaystyle V(x_1,x_2)}$为

${\displaystyle V(x_1,x_2)}$即为系统的能量。${\displaystyle V(x_1,x_2)}$在原点附近，半径${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$的开球体内为正定。计算其导数

可观察到${\displaystyle V(0)=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}(0)=0}$。若成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有轨迹都会到达原点的结论。不过很可惜，${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}\le <!--\; \le \; -->0}$及${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}}$只是半负定。不过，以下集合

也就是

除了平凡轨迹x = 0外，不包括系统内的任何轨迹。若在特定时间 ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x_2(t)=0}$，则因为${\displaystyle x_1}$必需小于${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$，则${\displaystyle \sin <!--\; \; -->x_1\ne <!--\; \ne \; -->0}$且${\displaystyle {\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}}_2(t)\ne <!--\; \ne \; -->0}$。因此，轨迹不会停留在集合${\displaystyle S}$内。

不变集原理的所有条件都满足，也可以下结论说：所有在原点附近的轨距，当${\displaystyle t\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$时，最后都会收敛到原点。

此结果是由约瑟夫·皮尔·拉萨尔（英语：J.P. LaSalle）（在RIAS（英语：Research Institute for Advanced Studies））及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基（英语：Nikolai Nikolaevich Krasovsky）两人独立发现，两人分别在1960年及1969年发表。约瑟夫·皮尔·拉萨尔在1960年发表此论文，是西方第一位发表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年时由克拉索夫斯基发表了一般性的定理。