朗伯W函数

✍ dations ◷ 2025-04-26 13:19:50 #特殊函数

朗伯W函数(英语:Lambert W function,又称为欧米加函数或乘积对数),是() = 的反函数,其中是指数函数,是任意复数。对于任何复数,都有:

由于函数不是单射,因此函数是多值的(除了0以外)。如果我们把限制为实数,并要求是实数,那么函数仅对于 ≥ −1/有定义,在(−1/, 0)内是多值的;如果加上 ≥ −1的限制,则定义了一个单值函数0()(见图)。我们有0(0) = 0,0(−1/) = −1。而在,k\in {\mathbb {Z} }\,}"> x , k Z {\displaystyle x\not \in \left,k\in {\mathbb {Z} }\,} 0, 与 为实常数。

其解为 x = r + W ( c e c r a o ) c {\textstyle x=r+{\tfrac {W\left({\frac {ce^{-cr}}{a_{o}}}\right)}{c}}} = Re(W0( + ))

= Im(W0( + ))

函数可以用以下的递推关系算出:

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