朗伯W函数

✍ dations ◷ 2025-07-09 15:40:20 #特殊函数

朗伯W函数（英语：Lambert W function，又称为欧米加函数或乘积对数），是() = 的反函数，其中是指数函数，是任意复数。对于任何复数，都有：

由于函数不是单射，因此函数是多值的（除了0以外）。如果我们把限制为实数，并要求是实数，那么函数仅对于 ≥ −1/有定义，在(−1/, 0)内是多值的；如果加上 ≥ −1的限制，则定义了一个单值函数₀()（见图）。我们有₀(0) = 0，₀(−1/) = −1。而在,k\in {\mathbb {Z} }\,}"> x ∉ , k ∈ Z {\displaystyle x\not \in \left,k\in {\mathbb {Z} }\,} ₀, 与为实常数。

其解为 ${\textstyle x=r+{\tfrac {W\left({\frac {ce^{-cr}}{a_{o}}}\right)}{c}}}$ = Re(W₀( + ))

= Im(W₀( + ))

函数可以用以下的递推关系算出：

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