微分流形

✍ dations ◷ 2025-08-03 09:30:53 #微分几何,微分拓扑学,流形

光滑流形(英语:),或称 C∞-微分流形(differential manifold)、C∞-可微流形(differentiable manifold),是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的,如果不特指,微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形在物理学中非常重要。特殊种类的可微流形构成了经典力学、广义相对论和杨-米尔斯理论等物理理论的基础。可以为可微流形开发微积分。可微流形上的微积分研究被称为微分几何。

微分几何(differential geometry)作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯(Carl Friedrich Gauss)和黎曼( Bernhard Riemann)。黎曼在哥廷根的著名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法,并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用:

物理学家马克士威(James Clerk Maxwell)和数学家库尔巴斯托罗(Gregorio Ricci-Curbastro)和齐维塔(Tullio Levi-Civita)的成果导入了张量分析和广义协变性的概念,它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔(Hermann Weyl)于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代,该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼(Hassler Whitney)等人厘清,使得从19世纪下半叶起开始发展起来的相关的直觉知识变得更精确,并通过微分几何和李群使微分流形的理论得到进一步的发展。

r {\displaystyle r} , )}的集合,其中α是覆盖 X的开放集合,并且对于每个索引α

α在n维真实空间的开放子集上的同胚。图册的转移映射(transition map)功能是

以图册来定义流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼于1943年所提出。每个拓扑流形都有一个图册。-atlas是一个图册,其转换图是。拓扑流形具有0-atlas,并且通常-流形具有-atlas。连续图册(continuous atlas)是0图册,平滑图册是∞图册,分析图册(analytic atlas)是ω图册。

伪群(Pseudogroups)的概念提供了弹性的图册泛化(generalization of atlases),允许以统一的方式在流形上定义成各种不同的结构。伪群由拓扑空间S和由S的开放子集到S的其他开放子集的同态组成的集合Γ组成,使得

最后三个条件类似于一个群(group)的定义。注意,Γ不必是群,因为这些函数在S上不是全域定义的。

有时使用替代方法来赋予具有结构的流形是有用的。这里 = 1, 2, ..., ∞, 或ω为实分析流形(real analytic manifolds)。不考虑坐标图,可以从流形本身定义的功能开始。 的结构层(structure sheaf),表示为C,是一种函数 ,它为每个开放集 ⊂ 定义连续函数 → R的代数C()。

在n维可微分流形 上的实值函数f在点 ∈ 处被称为可微分 ,如果它在周围定义的任何坐标图中是可微分的。更准确地说,如果(, )是卡(chart),其中包含,是 的开放集合,而且 : → R是定义卡(chart)的映射,则f是可微分的,如果且仅当

在()处是可微分的。一般会有很多可用的卡(chart);然而,可微分的定义不取决于的卡(chart)的选择。从链式法则(chain rule)应用到一个卡(chart)和另一个图之间的转换函数,如果在的任何特定卡(chart)中都是可微分的,那么在的所有卡(chart)中都是可微分的。类似的情况适用于定义函数,平滑函数和分析函数。

点的切空间由该点处的可能的方向导数构成,并且具有与流形相同的维数n。对于一组(非奇异)坐标在本地点,坐标导数(coordinate derivatives) k = x k {\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}} 确定切线空间的完整基础。

向量空间的对偶空间(dual space)是矢量空间上的实值线性函数集合。余切空间处的一点是该点的切线空间的对偶位置,而余切丛(cotangent bundle)是所有余切空间的集合。

黎曼流形是一个可微分的流形,切空间以微分的方式产生内积。内积结构可以称为黎曼度量(metric)。该度量可以用于互变向量和辅助向量,并定义rank 4黎曼曲率张量。黎曼流形有长度、体积和角度的概念。任何可微流形都可以被称为黎曼结构。

一个共同的流形是具有封闭性的,非退化的symmetric 2-tensor形式的流形。这种情况迫使相似的流形是均匀的。在汉密尔顿力学中作为相位空间出现的反切丛(Cotangent bundles)是激励的例子,但是许多紧凑型流形也具有扭对称(symplectic)结构。

相关

  • 生物分布区世界生物地理分区是指在历史发展过程中形成而在现代生态条件下存在的许多生物类型的总体,是在历史因素和生态因素共同作用下形成的。动植物的种或其他分类类群,最初是从一个地
  • 745–746Template:Congenital malformations and deformations of nervous system Template:Congenital malformations and deformations of eye Template:Congenital malformations
  • 农业地理学农业地理学是研究人类农业生产地域的差异及其规律的学科,是经济地理学的一个分支学科,也是农业科学的一个研究领域。农业与各个不同地域的自然条件、社会经济条件、人口密度和
  • 安纳·哈扎尔安纳·哈扎尔(马拉提语:अण्णा हजारे、英语:Anna Hazare)是一名印度社会活动家,1991年起成立并领导反腐组织“人民反腐运动”,以非暴力的方式反对腐败,并多次入狱,被誉为当
  • 爱上北斗星男友徐璐、张铭恩、任言恺、吴昕北京爱奇艺科技有限公司 北京乐合影业文化传媒有限公司 上海儒意影视制作有限公司 北京瑞格嘉尚文化传播有限公司《爱上北斗星男友》(英语:),2019年
  • 胜田里奈胜田里奈(日语:勝田 里奈/かつた りな ?),原为日本女子演唱团体ANGERME(旧称:S/mileage)二期正式成员。已于2019年9月25日从ANGERME及早安家族毕业。
  • A区站A区站(印尼语:Stasiun Blok A)是印度尼西亚雅加达地铁红线的一座高架车站,位于南雅加达行政市新峇油兰镇大元帅道。该站在2019年3月24日雅加达地铁红线一期线路通车时开放载客,设
  • 心灵独奏《心灵独奏》(英语:The Soloist),是2009年由乔·莱特执导的一部美国剧情片。主演是杰米·福克斯和小罗伯特·唐尼。该影片于2009年4月24日在电影院上演,影片DVD和蓝光DVD于同年8
  • 小丑所获荣誉列表《小丑》是一部于2019年上映的美国心理惊悚片,改编自DC漫画旗下的同名角色,由托德·菲利普斯执导并与斯科特·席佛(英语:Scott Silver)共同编剧,杰昆·菲尼克斯、罗伯特·德尼罗、
  • 阿道夫·冯·亨泽尔特阿道夫·冯·亨泽尔特(德语:Adolf von Henselt,1814年5月12日-1889年10月10日),德国钢琴家,作曲家。幼年从胡梅尔学习,并很快成为一名出色的音乐会演奏家。1838年移居圣彼得堡,担任宫