可测函数

✍ dations ◷ 2025-07-21 10:02:50 #可测函数

可测函数是可测空间之间的保持（可测集合）结构的函数，也是勒贝格积分或实分析中主要讨论的函数。数学分析中的不可测函数一般视为病态的。

如果Σ是集合上的σ代数，是上的σ代数，如果内的所有集合的原像都在内，则称函数 : → 是。

根据惯例，如果是某个拓扑空间，例如实数空间 ${displaystyle mathbb {R} }$ 上的开集所生成的波莱尔σ代数，除非另外说明。在这种情况下，可测空间(X,Σ)又称为波莱尔空间。

如果从上下文很清楚Τ和Σ是什么，则函数可以称为的，或干脆称为的。

设 ${displaystyle (X,Sigma )}$ 上的σ代数，是上的σ代数，若一个函数 ${displaystyle f:Xto Y}$ 又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见卢辛定理。

根据定义，随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

不是所有的函数都是可测的。例如，如果 ${displaystyle A}$ $A$ 是实数轴 ${displaystyle mathbb {R} }$ $R$ 的一个不可测子集，那么它的指示函数 ${displaystyle 1_{A}(x)}$ $1_{A}(x)$ 是不可测的。

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