平行四边形恒等式

✍ dations ◷ 2025-06-08 02:58:27 #范数,数学恒等式,四边形

在数学中,平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。它等价于三角形的中线定理。在一般的赋范内积空间(也就是定义了长度和角度的空间)中,也有类似的结果。这个等式的最简单的情形是在普通的平面上:一个平行四边形的两条对角线长度的平方和,等于它四边长度的平方和。假设这个平行四边形是写作 A B C D {\displaystyle ABCD} 的话,那么平行四边形恒等式就可以写成:

当平行四边形是矩形的时候,由矩形的几何特性可以知,这时两条对角线是一样长的。所以平行四边形恒等式变为:

也就是直角三角形的勾股定理:

也就是说,平面上的平行四边形恒等式可以看成是勾股定理的一种推广。

对于一般的四边形,平行四边形恒等式不再成立,但可以得到的是一个相似的不等式:

用一般的语言来说,就是一般四边形的四条边长度的平方和总是大于或者等于两条对角线长度的平方和。一个更加精确的结果是:

其中的 x {\displaystyle x} 是两条对角线的中点连成的线段的长度。

在复平面上,可以将平行四边形恒等式写为复数的形式。

如右图,在平行四边形 A B C D {\displaystyle ABCD} 中,设边 A B {\displaystyle AB} 的长度为 a {\displaystyle a} ,过点 B {\displaystyle B} 作垂直于 A B {\displaystyle AB} 的直线交线段 C D {\displaystyle CD} H {\displaystyle H} ,设线段 B H {\displaystyle BH} 的长度(即 A B {\displaystyle AB} 对应的高)为 h {\displaystyle h} ,线段 H C {\displaystyle HC} 的长度为 g {\displaystyle g} 。那么

于是平行四边形四边长度的平方和等于:

而平行四边形的两条对角线长度的平方和则等于:

可以看到,两者是一样的。

更一般的,在高维的欧几里得空间中(比如在三维空间中),可以想象平行四边形恒等式仍然是成立的,因为总可以找到平行四边形所在的平面,然后用平面上的方法证明。而在更广泛的定义了内积(初等几何中“角度”概念的推广,记作 , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } )和相应的范数(初等几何中“长度”概念的推广,记作 x = x , x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}} )的线性空间中,尽管已经没有直观几何意义上的平行四边形的概念,但仍然会有类似的恒等式:

也就是说,两个向量的和与差的“长度”(范数)的平方和等于它们自己的“长度”的平方和的两倍。

如果是没有定义内积,仅仅有范数的线性空间,则不一定有这样的结果。如果线性空间上定义的范数不是与某个内积相联系( x = x , x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}} )的话,那么上面的等式将不再成立。

x + y 2 + x y 2 = x + y , x + y + x y , x y {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle }

= x , x + 2 x , y + y , y   +   x , x 2 x , y + y , y {\displaystyle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \ +\ \langle x,x\rangle -2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle }

= 2 x , x + 2 y , y = 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle =2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})}

相关

  • KnolKnol 是Google公司的一个计划,目的是要建立一个类似维基百科或大众百科(Citizendium)的网站,让网友可参与编写知识性内容。“Knol”是 Google 自创的新词,取自 Knowledge(知识),是“
  • 腹腔动脉腹腔动脉(arteria coeliaca),又称腹腔动脉干(Truncus coeliacus),源自于腹主动脉(英语:abdominal aorta),水平长度约1.25 cm。在人体中,腹腔动脉会于第12节胸椎处由腹主动脉分支,为腹主
  • 多数决多数决原则(英语:Majority rule)又称“多数统治”,指群体处理事务时,依多数派意见为之。虽然多数制经常被误认为是过半数规则,但是两者是有分别的。多数制中,得票最多的获选,无论是
  • 维生素B9叶酸(Folate、folic acid)也称为维生素B9、维生素M、维生素Bc,属于维生素B。叶酸可用于治疗由叶酸缺乏症引起的贫血。叶酸也是孕妇的营养补充品。在新生儿的神经管缺损(英语:Neur
  • 米克特兰堤库特里米克特兰特库特利(Mictlantecutli,意为“冥王”。)是阿兹特克人的冥界之神,祂掌管米克特兰(阿兹特克的冥界)的第九层,也就是最底层。祂的女性面相,或说妻子,是米克特卡西瓦特尔(Mictec
  • 俾路支人超过1500万伊斯兰教(多为逊尼派,少数Zikri教派(英语:Zikri)俾路支(俾路支语: بلوچ‬)是伊朗人一支,俾路支地区(西南亚伊朗高原地带)的主要民族。现主要分布在巴基斯坦、伊朗、阿富
  • 太空行走舱外活动(英语:extravehicular activity,简称EVA),也称太空出舱活动,是宇航员在离开地球大气层后于太空飞行器外所做的工作。舱外活动主要在绕行地球的太空飞行器外执行(即太空漫步
  • 征收征收(又称土地征用权)系指政府为促进物品利用、增进公共利益,而兴建各种设施,基于政府公权力之作用,依法定程序,取得特定私有物品,并给予当事者相当补偿之行为。政府对土地及所属房
  • 步济时步济时,(英语:John Stewart Burgess,1883年7月12日-1949年8月16日),美国传教士,曾主持成立燕京大学社会学系并教授社会学,对中国的社会工作专业贡献很大,被誉为“中国社会工作之父”。
  • 亲爱的土地《亲爱的土地》(他加禄语:Lupang Hinirang)是菲律宾共和国的国歌。1898年,菲律宾脱离西班牙独立,应独立运动领袖阿奎纳多将军(1869年-1964年)的邀请,由作曲家胡连·菲立佩(1861年-194