平行四边形恒等式

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:11:27 #范数,数学恒等式,四边形

在数学中,平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。它等价于三角形的中线定理。在一般的赋范内积空间(也就是定义了长度和角度的空间)中,也有类似的结果。这个等式的最简单的情形是在普通的平面上:一个平行四边形的两条对角线长度的平方和,等于它四边长度的平方和。假设这个平行四边形是写作 A B C D {\displaystyle ABCD} 的话,那么平行四边形恒等式就可以写成:

当平行四边形是矩形的时候,由矩形的几何特性可以知,这时两条对角线是一样长的。所以平行四边形恒等式变为:

也就是直角三角形的勾股定理:

也就是说,平面上的平行四边形恒等式可以看成是勾股定理的一种推广。

对于一般的四边形,平行四边形恒等式不再成立,但可以得到的是一个相似的不等式:

用一般的语言来说,就是一般四边形的四条边长度的平方和总是大于或者等于两条对角线长度的平方和。一个更加精确的结果是:

其中的 x {\displaystyle x} 是两条对角线的中点连成的线段的长度。

在复平面上,可以将平行四边形恒等式写为复数的形式。

如右图,在平行四边形 A B C D {\displaystyle ABCD} 中,设边 A B {\displaystyle AB} 的长度为 a {\displaystyle a} ,过点 B {\displaystyle B} 作垂直于 A B {\displaystyle AB} 的直线交线段 C D {\displaystyle CD} H {\displaystyle H} ,设线段 B H {\displaystyle BH} 的长度(即 A B {\displaystyle AB} 对应的高)为 h {\displaystyle h} ,线段 H C {\displaystyle HC} 的长度为 g {\displaystyle g} 。那么

于是平行四边形四边长度的平方和等于:

而平行四边形的两条对角线长度的平方和则等于:

可以看到,两者是一样的。

更一般的,在高维的欧几里得空间中(比如在三维空间中),可以想象平行四边形恒等式仍然是成立的,因为总可以找到平行四边形所在的平面,然后用平面上的方法证明。而在更广泛的定义了内积(初等几何中“角度”概念的推广,记作 , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } )和相应的范数(初等几何中“长度”概念的推广,记作 x = x , x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}} )的线性空间中,尽管已经没有直观几何意义上的平行四边形的概念,但仍然会有类似的恒等式:

也就是说,两个向量的和与差的“长度”(范数)的平方和等于它们自己的“长度”的平方和的两倍。

如果是没有定义内积,仅仅有范数的线性空间,则不一定有这样的结果。如果线性空间上定义的范数不是与某个内积相联系( x = x , x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}} )的话,那么上面的等式将不再成立。

x + y 2 + x y 2 = x + y , x + y + x y , x y {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle }

= x , x + 2 x , y + y , y   +   x , x 2 x , y + y , y {\displaystyle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \ +\ \langle x,x\rangle -2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle }

= 2 x , x + 2 y , y = 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle =2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})}

相关

  • Taq聚合酶结构 / ECOD结构 / ECODTaq聚合酶是由钱嘉韵于1976年从嗜热细菌海栖热袍菌(Thermus aquaticus)中分离出的DNA聚合酶。Taq聚合酶的常用简称有Taq Pol(或Taq酶)。Taq酶常用于放大
  • 巴西卢佐岛巴西卢佐岛(Basiluzzo)是意大利西西里岛北侧的火山岛岛链伊奥利亚群岛中面积最小的一个岛,面积只有1 km²。位置介于帕纳雷阿岛和斯特龙博利岛之间。其古代名称为"Hycesia"。坐
  • 儿童青年精神病学儿童与青少年精神医学或小儿精神医学是精神医学的一个分支。它主要专注于儿童与青少年及其家庭之心理疾患的诊断、治疗和预防。它主要主要研究心理与社会双重因素(英语:biopsy
  • 暴风雪航天飞机计划暴风雪航天飞机计划(俄语:Бура́н,罗马转写:Buran)是一个存在于前苏联时代的可重复使用航天器计划。计划始于1976年,由当时苏联的中央空气动力学研究所(ЦАГИ;TsAGI)负责,以回
  • 二十第八第十埃及第二十王朝是古埃及历史上的一个王朝,其与第十八王朝和第十九王朝统称新王国时期。第二十王朝是新王国时期最后一个王朝,继其之后就是第三中间时期。第二十王朝的
  • 溴化铵溴化铵(Ammonium bromide), 外观为无色或白色立方结晶粉末,可通过氨与溴化氢反应制取。可溶于水、醇,丙酮,微溶于乙醚。用于医药镇静剂、照相感光剂等。对全身中毒作用微弱,但要防
  • 主要板块构造板块(英语:tectonic plates)是岩石圈(地壳和上层地幔)的一部分。一般板块厚约100公里(62英里),材料组成有两种主要类型:海洋地壳(硅、镁组成的硅镁层)和大陆地壳(硅、铝组成的硅铝层
  • 韩复榘韩复.mw-parser-output ruby.zy{text-align:justify;text-justify:none}.mw-parser-output ruby.zy>rp{user-select:none}.mw-parser-output ruby.zy>rt{font-feature-setti
  • 谢和耐谢和耐(法语:Jacques Gernet,1921年12月22日-2018年3月3日),法国汉学家,法兰西文学院院士,法兰西学会教授。谢和耐教授是法兰西文学院院士,汉学界领军人物,主要研究中国社会和文化史,著
  • 西部扩张西部扩张(westward expansion)意旨美国在以“昭昭天命”(manifest destiny)为旗帜,透过战争与外交手段将领土向西推进至太平洋沿岸的联邦政府政策。