粘性解

✍ dations ◷ 2025-08-29 18:28:26 #偏微分方程,动态规划,数理经济学

数学中,粘性解是20世纪80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作为对偏微分方程(PDE)经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的,例如优化控制中的一阶偏微分方程(哈密顿-雅可比-贝尔曼方程),微分对策中(Isaacs equation),前端演化问题(front evolution problem),还有二阶方程,例如在随机优化控制或随机微分博弈(stochastic differential game)中出现的。

经典的概念是在域 x Ω {\displaystyle x\in \Omega } (),使得, 和(的微分)在每个点都满足上面的等式。

在粘性解的意义下,不需要在每个点都可微。可能在有些点上不存在,即中存在扭结(kink)但在适当意义下满足等式。虽然在某个点上可能不存在,但可以使用下面定义的(superdifferential) D + u {\displaystyle D^{+}u} (subdifferential) D u {\displaystyle D^{-}u} 是上面PDE的一个(viscosity subsolution),如果满足

定义4. 连续函数是上面PDE的一个(viscosity supersolution),如果满足

定义5.连续函数是PDE的一个粘性解如果它既是又是。

粘性解存在不需引入上(下)微分概念的等价定义,见Fleming与Soner书中的第II.4节。

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