伪黎曼流形

在微分几何中，伪黎曼流形（英语：Pseudo-Riemannian manifold），也称为半黎曼流形，是一光滑流形，其上有一光滑、对称、点点非退化的 ( 0 , 2 ) {displaystyle (0,2)} 张量。此张量称为伪黎曼度量或伪度量张量。伪黎曼流形与黎曼流形的区别是它不需要正定（通常要求非退化）。因为每个正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量，亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。每一个非退化对称，双线性形式有一个固定的度量符号 ( p , q ) {displaystyle (p,q)} 。这里 p {displaystyle p} 与 q {displaystyle q} 记作正特征值及负特征值的个数。注意 p + q = n {displaystyle p+q=n} 是流形的维数。黎曼流形就是以 ( n , 0 ) {displaystyle (n,0)} 作为符号。伪黎曼流形的符号 ( p , 1 ) {displaystyle (p,1)} 称为洛伦兹度量。拥有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外，洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子类。因为它常被用于广义相对论。广义相对论首要假设是时空可以转为拥有 ( 3 , 1 ) {displaystyle (3,1)} 符号的洛伦兹流形的模型。和欧几里得空间 R n {displaystyle mathbf {R} ^{n}} 可以被认为是黎曼流形的模型一样，,有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间(Minkowski space) R p , 1 {displaystyle mathbf {R} ^{p,1}} 是洛伦兹流形的模型空间。特征数为 ( p , q ) {displaystyle (p,q)} 的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的 R p , q {displaystyle mathbf {R} ^{p,q}} :有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量；因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。