计算几何

✍ dations ◷ 2025-07-11 07:44:38 #计算机科学,理论计算机科学,数位几何学,计算几何

计算几何是一门兴起于二十世纪七十年代末的计算机科学的一个分支,主要研究解决几何问题的算法。

自从1946年世界上第一台电子计算机问世以来,计算机应用的一个重要里程碑是1962年美国麻省理工学院发明了世界上第一台图形显示器。自此之后,计算机可以通过图形显示器直接输入、输出图形,并且可以在显示屏上通过光标的移动而直接修改图形。而在这之前,工程师是通过一厚叠纸上密密麻麻的数字来间接表达工程图形的。

1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。这3个行业,由于其产品的外形曲面特别复杂,要求特别苛刻,而成为CAD首先应用的领域。

与此同时,也就发展出了一门新兴学科——计算几何,它在美国常常被称为CAGD(Computer Aided Geometric Design,计算机辅助几何设计),专门研究“几何图形信息(曲面和三维实体)的计算机表示、分析、修改和综合”。1972年在美国举行CAGD第一次国际会议,标志计算几何学科的形成。

如果把一条线段的端点作出次序之分,则可将这种线段看作有向线段。如果有向线段 P 1 P 2 {\displaystyle P_{1}P_{2}} 的起点 P 1 {\displaystyle P_{1}} 在坐标原点,则把它称为矢量 P 2 {\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{2}} 。这样,点 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} 可以看作起点为原点 O ( 0 , 0 ) {\displaystyle O(0,0)} 的二维矢量。相应地,三维空间坐标系下的坐标也可以作类似理解为三维矢量。

设二维矢量 P = ( x 1 , y 1 ) , Q = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}=(x_{1},y_{1}),{\boldsymbol {Q}}=(x_{2},y_{2})} ,则矢量的加法定义为 P + Q = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})} ,矢量的减法定义为 P Q = ( x 1 x 2 , y 1 y 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})} 。矢量的加减法有以下性质: P + Q = Q + P , P Q = ( Q P ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {Q}}+{\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {P}})} 。因为点可视为坐标原点至该点的矢量,所以点的加减法就是矢量的加减法。

矢量的叉积,也称矢量的叉乘。矢量 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} Q {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}} 的叉乘记作 P × Q {\displaystyle {\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}} 。定义 P × Q = x 1 y 2 x 2 y 1 {\displaystyle {\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}} ,其结果是一个标量。几何意义为由原点、点 P {\displaystyle P} 、点 Q {\displaystyle Q} 、点 P + Q {\displaystyle P+Q} 四点共同组成的平行四边形的面积(带正负号)。计算矢量叉积是直线和线段相关算法的核心。矢量的叉积有以下性质: P × Q = ( Q × P ) , P × ( Q ) = ( P × Q ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}\times {\boldsymbol {P}}),{\boldsymbol {P}}\times (-{\boldsymbol {Q}})=-({\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}})}

叉乘的一个非常重要的性质是,可以通过它的正负号判断两矢量之间的顺逆时针关系:

折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。对于有公共端点的线段 A P {\displaystyle AP} P B {\displaystyle PB} ,通过计算 = ( B P ) × ( P A ) {\displaystyle \nabla =(B-P)\times (P-A)} 的符号,就可以确定折线的拐向:

相关

  • 睾丸炎睾丸炎是睾丸发生的一种炎症。 其症状与睾丸扭转很像,都会导致睾丸胀大、剧烈疼痛、反复感染和尿血。睾丸炎可能是由附睾炎传染而来的,有时候也会因性交而传染。布鲁氏菌病也
  • 叶夫帕托里亚叶夫帕托里亚(乌克兰语:Євпаторія, 俄语:Евпатория, 克里米亚鞑靼语:Kezlev, 希腊语:Ευπατορία, Κερκινίτις - Eupatoria, Kerkinitis, 土
  • 同音文章同音文章常指的是在现代汉语普通话中使用同一或相近读音的汉字所写成的文章。因为现代汉语普通话中有很多的同音字,所以只能用现代汉语普通话文言文才能写作。英语中也有相似
  • 鲍氏囊鲍氏囊 (Bowman's capsule、capsula glomeruli或capsula glomeruli)是哺乳动物肾脏中的一个"杯状囊"的构造,位于肾元管状的前段。血液流入肾小球时,会在此处进行初步的过滤。滤
  • 最伟大的荷兰人《最伟大的荷兰人》(荷兰语:De Grootste Nederlander),是2004年由荷兰公共广播电视KRO在征集广大观众投票后评选的节目,和最伟大的100名英国人节目异曲同工。2004年11月15日公布
  • 圣克鲁斯加利福尼亚大学圣克鲁兹加利福尼亚大学 (英文:University of California, Santa Cruz;缩写:UCSC),简称圣克鲁兹加大,又常被称为加利福尼亚大学圣克鲁兹分校,是十所加利福尼亚大学之一,位于美国加
  • 刘海澜刘海澜(Hiram Harrison Lowry,1843年5月29日-1924年)是美以美会在华传教士。1843年,刘海澜出生在美国俄亥俄州曾斯维尔。1867年,刘海澜受美以美会差遣,到达中国福州。1868年6月,美以
  • Inmarsat国际海事卫星组织(英语:Inmarsat plc,International Maritime Satellite Organization,LSE:ISAT)是英国的卫星通信公司,提供全球性的移动服务。以11个地球静止轨道通信卫星,通过便携
  • CVL-29 巴丹号巴丹号航空母舰(CVL-29)是一艘隶属于美国海军的航空母舰,为独立级航空母舰的八号舰。她是美军第一艘以巴丹为名的军舰,纪念美军在太平洋战争早段落败投降的巴丹半岛战役。巴丹号
  • 典型原型是首创的模型,代表同一类型的人物、物件、或观念。原型在文学与心理学中很重要。原型往往被以后的作者一再的重复模仿与重塑。荣格分析心理学中有四大原型:其他分析心理学