计算几何

✍ dations ◷ 2025-06-28 23:45:55 #计算机科学,理论计算机科学,数位几何学,计算几何

计算几何是一门兴起于二十世纪七十年代末的计算机科学的一个分支，主要研究解决几何问题的算法。

自从1946年世界上第一台电子计算机问世以来，计算机应用的一个重要里程碑是1962年美国麻省理工学院发明了世界上第一台图形显示器。自此之后，计算机可以通过图形显示器直接输入、输出图形，并且可以在显示屏上通过光标的移动而直接修改图形。而在这之前，工程师是通过一厚叠纸上密密麻麻的数字来间接表达工程图形的。

1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。这3个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂，要求特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。

与此同时，也就发展出了一门新兴学科——计算几何，它在美国常常被称为CAGD（Computer Aided Geometric Design，计算机辅助几何设计），专门研究“几何图形信息（曲面和三维实体）的计算机表示、分析、修改和综合”。1972年在美国举行CAGD第一次国际会议，标志计算几何学科的形成。

如果把一条线段的端点作出次序之分，则可将这种线段看作有向线段。如果有向线段 $P_{1}P_{2}$ $P_{1}P_{2}$ 的起点 $P_{1}$ $P_{1}$ 在坐标原点，则把它称为矢量 ${\boldsymbol {P}}_{2}$ ${\boldsymbol {P}}_{2}$ 。这样，点 $P(x,y)$ $P(x,y)$ 可以看作起点为原点 $O(0,0)$ $O(0,0)$ 的二维矢量。相应地，三维空间坐标系下的坐标也可以作类似理解为三维矢量。

设二维矢量 ${\boldsymbol {P}}=(x_{1},y_{1}),{\boldsymbol {Q}}=(x_{2},y_{2})$ ${\boldsymbol {P}}=(x_{1},y_{1}),{\boldsymbol {Q}}=(x_{2},y_{2})$ ，则矢量的加法定义为 ${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ ${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ ，矢量的减法定义为 ${\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$ ${\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$ 。矢量的加减法有以下性质： ${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {Q}}+{\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {P}})$ ${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {Q}}+{\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {P}})$ 。因为点可视为坐标原点至该点的矢量，所以点的加减法就是矢量的加减法。

矢量的叉积，也称矢量的叉乘。矢量 ${\boldsymbol {P}}$ ${\boldsymbol {P}}$ 与 ${\boldsymbol {Q}}$ ${\boldsymbol {Q}}$ 的叉乘记作 ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}$ ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}$ 。定义 ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$ ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$ ，其结果是一个标量。几何意义为由原点、点 $P {\displaystyle P}$ $P$ 、点 $Q {\displaystyle Q}$ $Q$ 、点 $P+Q$ $P+Q$ 四点共同组成的平行四边形的面积（带正负号）。计算矢量叉积是直线和线段相关算法的核心。矢量的叉积有以下性质： ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}\times {\boldsymbol {P}}),{\boldsymbol {P}}\times (-{\boldsymbol {Q}})=-({\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}})$ ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}\times {\boldsymbol {P}}),{\boldsymbol {P}}\times (-{\boldsymbol {Q}})=-({\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}})$ 。

叉乘的一个非常重要的性质是，可以通过它的正负号判断两矢量之间的顺逆时针关系：

折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。对于有公共端点的线段 $A P {\displaystyle AP}$ $AP$ 和 $P B {\displaystyle PB}$ $PB$ ，通过计算 $\nabla =(B-P)\times (P-A)$ $\nabla =(B-P)\times (P-A)$ 的符号，就可以确定折线的拐向：

相关

增生性贫血增生性贫血即指血液中某种细胞增生过多引起其他细胞成分相对减少的贫血。包括三大类贫血：溶血性贫血、缺铁性贫血和巨幼细胞增生性贫血
斯洛文尼亚语斯洛文尼亚语（slovenski jezik 或 slovenščina），属印欧语系斯拉夫语族，为斯洛文尼亚的官方语言，在全球有约2百万使用者，分为6种互不相通的方言。斯洛文尼亚语比较接近塞尔维亚-
联邦最高社会法院德国联邦最高社会法院（德文：Bundessozialgericht）为德国五个联邦终审法院其中一者。其负责审理关于社会保障相关的上诉案件，其中最主要是关于公共卫生保险、长期护理保险、养老
劳亚兽总目见内文劳亚兽总目（Laurasiatheria）是根据DNA序列分析及逆转位子数据而成立的真兽下纲下的一个演化支。其名字是来自相信这些哺乳动物都是在从盘古大陆分裂出来的劳亚大陆上演
前镇坐标：22°35′49″N 120°18′53″E / 22.5970794°N 120.3147208°E / 22.5970794; 120.3147208前镇区（台湾话：.mw-parser-output .sans-serif{font-family:-apple-system,Bli
芳香疗法芳香疗法(Aromatherapy)，简称芳疗，是指借由芳香植物所萃取出的精油(essential oil)做为媒介，并以按摩、泡澡、熏香等方式经由呼吸道或皮肤吸收进入体内，来达到舒缓精神压力与增
2013年英国地方选举2013年英国地方选举在2013年5月2日举行，此次选举在包括所有27个非都市郡议会、8个一元化地方行政体和安格尔西岛郡议会内举行，并在北泰因赛德和唐卡斯特举行了市长直接选举。
昆山市昆山市在中国江苏省东南部，邻接上海市，是江苏省的一个直管市。昆山是昆曲的发源地；昆山经济高度发达，在中国百强县中综合竞争力与江苏江阴市并列第一。秦代设娄县。南朝梁改昆山
中龙科中龙目（学名：Mesosauria）是一类已灭绝的爬行动物。它们生活在大约2.99亿到2.70亿年前的早二叠纪。它们是最早的水栖爬行动物之一，在陆地上演化过后再度返回水中。中龙目具有超过
感染感染是指由病原体物种在身为宿主的个体内进行有害的复制、繁殖过程，一般而言造成感染的病原体包含4类:细菌、病毒、霉菌、寄生虫。感染三角为：宿主-病原体-环境，欲中断感染三角