偏态

在概率论和统计学中，偏度衡量实数随机变量概率分布的不对称性。偏度的值可以为正，可以为负或者甚至是无法定义。在数量上，偏度为负（负偏态）就意味着在概率密度函数左侧的尾部比右侧的长，绝大多数的值（不一定包括中位数在内）位于平均值的右侧。偏度为正（正偏态）就意味着在概率密度函数右侧的尾部比左侧的长，绝大多数的值（不一定包括中位数）位于平均值的左侧。偏度为零就表示数值相对均匀地分布在平均值的两侧，但不一定意味着其为对称分布。偏度分为两种：如果分布对称，那么平均值=中位数，偏度为零（此外，如果分布为单峰分布，那么平均值=中位数=众数）。随机变量X的偏度γ1为三阶标准矩，可被定义为：其中μ3是三阶中心矩，σ是标准差。E是期望算子。等式的最后以三阶累积量与二阶累积量的1.5次方的比率来表示偏度。这和用四阶累积量除去二阶累积量的平方来表示峰度的方法向类似。偏度有时用Skew来表示。老教科书过去常常用 β 1 {displaystyle scriptstyle {sqrt {beta _{1}}}} ,来表示偏度，可是由于偏度可为负，这样的表示法较为不便。对上面的等式进行扩展可导出用非中心矩E来表示偏度的公式：具有n个值的样本的样本偏度为：其中 x ¯ {displaystyle {overline {x}}} 是样本平均值，m3是三阶样本中心矩，m2是二阶样本中心距，即样本方差。当： Pr [ X > x ] = x − 3  for  x > 1 ,   Pr [ X < 1 ] = 0 {displaystyle Pr left=x^{-3}{mbox{ for }}x>1, Pr=0} 时，偏度可以是无穷大的。或者当： Pr [ X < x ] = ( 1 − x ) − 3 / 2 {displaystyle Pr=(1-x)^{-3}/2} （x为负）及Pr [ X > x ] = ( 1 + x ) − 3 / 2 {displaystyle Pr=(1+x)^{-3}/2} （x为正）时，偏度无法定义。在后面的这个例子中，三阶累积量是无法定义的。 其他分布形式比如：二阶和三阶累积量是无穷大的，所以偏度也是无法定义的。如果假定Y为n个独立变量之和并且这些变量和X具有相同的分布，那么Y的三阶累积量是X的n倍，Y的二阶累积量也是X的n倍，所以： Skew [ Y ] = Skew [ X ] / n {displaystyle {mbox{Skew}}={mbox{Skew}}/{sqrt {n}}} 。根据中心极限定理，当其接近高斯分布时变量之和的偏度减小。