施瓦茨－米尔诺引理

施瓦茨－米尔诺（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor）引理，是数学上的一个结果，给出了群和在度量空间上的群作用的关系。阿尔伯特·施瓦茨首先发现这个结果，十数年后约翰·米尔诺重新发现。这条引理有时称为几何群论基本定理。有了这条引理，就可以由度量空间的几何性质，来研究群的性质。

设为一个度量空间。如果每两点都有测地线相连，就称为测地的。

如果中每一个闭球都是紧致集，就称为常态的。考虑中从某点${\displaystyle x^{\prime }}$为常态的原因。

一个群在上的群作用称为真不连续的，如果对每个紧致集${\displaystyle K\subset <!--\; \subset \; -->X}$中只有有限个元素，使得${\displaystyle g\cdot <!--\; \cdot \; -->K\cap <!--\; \cap \; -->K\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$为一个常态测地度量空间。如果一个群以等距映射真不连续地、余紧地作用在上，那么是有限生成群。而且中用一个有限生成集合赋予以字度量后，和拟等距同构；对于的任何一点${\displaystyle x_0}$到的拟等距映射。

中任何有限生成集合所对应的字度量，都是拟等距同构。故此只需找到一个有限生成集合，证明在上取对应的字度量后，和是拟等距同构即可。

选定${\displaystyle x_0\in <!--\; \in \; -->X}$的作用下覆盖。

取的一个子集

的元素若在子集内，则有

是常态度量空间，故${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B(x_0,r+1/2)}}$仅有有限个。因此是有限集。

对中任何非平凡元素，有一条测地线段连接两点${\displaystyle x_0}$为整数，符合

在这条测地线段上取点${\displaystyle x_j}$=1,..., +1，满足${\displaystyle d_X(x_{j-<!--\; -\; -->1},x_j)\le <!--\; \le \; -->1}$中的元素${\displaystyle g_j}$是由最多+1个的元素的积。因此是的生成集合，而且对所有都有

取${\displaystyle c=\underset{s\in <!--\; \in \; -->S}{max}{d}_X(x_0,s\cdot <!--\; \cdot \; -->x_0)}$中每一点都距离某个${\displaystyle g\cdot <!--\; \cdot \; -->x_0}$，所以${\displaystyle g\mapsto <!--\; \mapsto \; -->g\cdot <!--\; \cdot \; -->x_0}$和是拟等距同构。