初等阿贝尔群

✍ dations ◷ 2025-12-09 16:50:56 #阿贝尔群论,有限群

在群论中，初等阿贝尔群是有限阿贝尔群，这里的所有非平凡元素都有阶而是素数。

通过有限生成阿贝尔群的分类，所有初等阿贝尔群必定有如下形式

对于非负整数。这里的指示阶的循环群(或等价的整数模以 )，而幂符号表示意味着元笛卡尔积。

假设 = (/) 是初等阿贝尔群。因为 / $\cong$ ，即个元素的有限域，我们有 = (/) $\cong$ ，所以可以被认为是在域上的 -维向量空间。

机警的读者可能发现 F 有比群更大的结构，特别是它除了(向量/群)加法之外还有标量乘法。但是作为阿贝尔群有唯一一个 -模结构，这里的的作用对应于重复的加法，而这个 -模结构一致于标量乘法。就是说，· = + + ... + ( 次) 这里的在中(考虑为整数带有 0 ≤ < ) 给予一个自然的 -模结构。

作为向量空间有如例子中那样的基 {₁, ..., }。如果我们选取 {₁, ..., } 为任何的个元素，则通过线性代数我们有映射 () = 唯一扩张为 V 的线性变换。每个这种 T 都可以被认为是从到的群同态(自同态)并同的任何自同态一样可以被认为是作为向量空间的线性变换。

如果我们限制注意力于的自同构，我们有 Aut() = { : -> | ker = 0 } = GL()，即在 F 上的 × 可逆矩阵的一般线性群。

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